Nullstellen zeigen uns, wo eine Funktion die x-Achse schneidet. Das hilft uns bei der Beantwortung vieler Fragen - sei es bei der Analyse des Graphen, oder auch bei der Lösung vieler realer Probleme.
In diesem Beitrag schauen wir uns an, wie man Nullstellen findet, warum sie wichtig sind, und worauf du achten sollst. Wir führen dich an einfachen Beispielen durch das Them.
Möchtest du noch mehr zu den einzelnen Methoden erfahren, so schau gerne bei unseren weiterführenden Beiträgen vorbei. Wir verlinken sie dir in der Zusammenfassung. Dort findest du auch zu jedem Thema Übungsaufgaben.
Es gibt 3 Arten von Nullstellen. Sie unterscheiden sich in ihrer Vielfachheit. Wir gehen sie schrittweise durch.
Einfache Nullstellen
Eine einfache Nullstelle ist eine Nullstelle, bei der die Funktion die x-Ache schneidet. Das bedeutet auch, dass das Vorzeichen der Funktion um die Nullstelle herum wechselt.
In einer Funktionsgleichung könnte das so aussehen:
\(f(x)=x\)
\(f(x)=x-2\)
Doppelte Nullstellen
Eine doppelte Nullstelle ist eine Nullstelle, bei der die Funktion die x-Ache berührt. Das bedeutet auch, dass das Vorzeichen der Funktion um die Nullstelle herum gleich bleibt.
In einer Funktionsgleichung könnte das so aussehen:
\(f(x)=x^2\)
\(f(x)=(x-2)^2\)
Dreifache Nullstellen
Eine dreifache Nullstelle ist eine Nullstelle, bei der die Funktion die x-Ache flach schneidet - in einem Sattelpunkt. Das bedeutet auch, dass das Vorzeichen der Funktion um die Nullstelle herum wechselt.
In einer Funktionsgleichung könnte das so aussehen:
Wenn du dir die Exponenten der Beispiele betrachtest, stellst du fest, dass du schon daran die Wertigkeit der Nullstelle erkennen kannst.
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Vielfachheit von Nullstellen erkennen
Du kannst die Nullstellen direkt an der Funktion ablesen, wenn die Gleichung in der faktorisierten Form (Produktform) vorliegt. Dazu musst du jede Klammer gleich Null setzen.
Die faktorisierte Form einer Funktionsgleichung können wir auch als Nullstellenform bezeichnen, da wir aus ihr die Nullstellen direkt ablesen können.
Das ermöglicht es uns, auch umgekehrt alle Nullstellen vom Graphen abzulesen und so die Funktionsgleichung zu bestimmen.
Beispiel 1
Im Graphen der Funktion kannst du 3 Nullstellen erkennen. Eine doppelte Nullstelle und zwei einfache Nullstellen.
Mit diesen Informationen und den x-Werten der Nullstellen können wir den Linearfaktor jeder einzelnen Nullstelle bestimmen und diese dann zu einer Funktionsgleichung zusammensetzen.
doppelte Nullstelle bei \(x=-3 \ \) → \( \ (x+3)^2\)
einfache Nullstelle bei \(x=0 \ \) → \( \ x\)
einfache Nullstelle bei \((x=1) \ \) → \( \ (x-1)\)
Wir konnten die Nullstellen sofort ablesen und so die Linearfaktoren aufstellen, aber uns fehlt noch der Streckfaktor der Funktion.
Um den Streckfaktor zu bestimmen wählen wir einen gut ablesbaren Punkt auf der Funktion, und setzen ihn in die Funktionsgleichung ein.
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Nullstellen linearer Funktionen
Eine lineare Funktion kann höchstens eine Nullstelle haben.
Um diese Nullstelle zu berechnen setzt du die Funktionsgleichung \(f(x)\) gleich Null und löst sie dann nach \(x\) auf.
Beispiel 1
\(f(x)=4x-8\)
Bestimmen wir die Nullstelle der Beispielfunktion. Dazu setzen wir die Funktionsgleichung \(f(x)\) gleich Null:
\({\textcolor{orange}{0}}=4x-8\)
Im nächsten Schritt lösen wir die Gleichung nach x auf:
\({\textcolor{orange}{0}}=4x-8 \hspace{1cm} |+8\)
\(8=4x \hspace{1cm} |:4\)
\(2=x\)
Die Nullstelle der linearen Funktion liegt bei \(x=2 \ \) → \( \ N(2|0)\)
Hat eine Funktionsgleichung in jedem Summanden einen gemeinsamen Faktor - meist ist das \(x\) - kann dieser ausgeklammert werden. Die Nullstellen werden mit dem Satz vom Nullprodukt berechnet.
Beispiel 1
\(f(x)=x^2-3x\)
In der Beispielfunktion ist in jedem Summanden ein \({\textcolor{green}{x}}\) enthalten...
... daher werden wir nun die Funktion gleich Null setzen und ein \({\textcolor{green}{x}}\) ausklammern:
\(0={\textcolor{green}{x}}\cdot (x-3)\)
Jetzt liegt die Gleichung in der Produktform vor. Das bedeutet, dass wir den Satz vom Nullprodukt anwenden können, um die Nullstellen zu berechnen.
Dieser besagt: Ist einer der Faktoren in einem Produkt Null, ist das ganze Produkt Null.
Das bedeutet entweder:
Eine Alternative zur Mitternachtsformel ist die pq-Formel. Auch sie wird zum Lösen quadratischer Gleichungen eingesetzt. Allerdings kannst du die pq-Formel nur dann anwenden, wenn vor dem \(x^2\) eine 1 als Faktor steht.
Wir schauen uns die pq-Formel an einem Beispiel an
Beispiel
\(f(x)={\textcolor{midnightblue}{4}}x^2+48x+144\)
Bevor wir \({\textcolor{orangered}{p}}\) und \({\textcolor{orange}{q}}\) in der Funktionsgleichung ablesen können, müssen wir die ganze Gleichung durch den Faktor vor dem \(x^2\) dividieren.
Die Beispielfunktion hat eine doppelte Nullstelle:
\(N(-6|0)\)
Zur Erinnerung
Eine quadratische Funktion hat höchstens zwei Nullstellen:
keine Nullstelle
eine doppelte Nullstelle
zwei einfache Nullstellen
Substitution
Musst du von einer Funktion mit wiederkehrenden Mustern die Nullstellen bestimmen, ist die Substitution ein nützliches Hilfsmittel. Sie ersetzt einen komplizierten Term durch eine neue Variable um die Gleichung einfacher zu machen.
Die Beispielfunktion hat zwei dreifache Nullstellen. Die Vielfachheit der Nullstellen kannst du im 1. Schritt der Resubstitution an der \(x^3\) ablesen.
\(N_1(2|0) \hspace{1cm} N_2(3|0)\)
Polynomdivision
Musst du die Nullstellen einer Funktion höheren Grades berechnen, die keine wiederkehrenden Muster hat, so nutzt du die Polynomdivision.
Um die Polynomdivision anzuwenden, musst du bereits eine Nullstelle kennen - oder durch raten finden.
Beispiel
\(f(x)= 5x^3 +7x^2 -x -3\)
Die bekannte Nullstelle ist \(N(-1|0)\). Im ersten Schritt müssen wir das als Linearfaktor schreiben.
\(N(1|0) \hspace{0.5cm} → \hspace{0.5cm} (x+1)\)
Sowohl die Funktionsgleichung, als auch der Linearfaktor sind Polynome. Unser nächster Schritt ist es, die Funktionsgleichung (1. Polynom) durch den Linearfaktor (2. Polynom) zu dividieren.
Wir machen eine Polynomdivision:
Den 1. Schrritt besprechen wir ausführlich, dann werden wir dir die restliche Polynomdivision zusammenhängend zeigen. Dividiere \({\textcolor{green}{5x^3}}\) durch \({\textcolor{orangered}{x}}\), und multipliziere dann mit dem Linearfaktor zurück:
Jetzt fügen wir \({\textcolor{orange}{5x^2}}\) und \({\textcolor{midnightblue}{(5x^3+5x^2)}}\) in die Polynomdivision ein und rechnen weiter.
Du rechnest immer \({\textcolor{green}{grün}}:{\textcolor{orangered}{rot}}={\textcolor{orange}{gelb}}\) und multiplizierst dann zu \({\textcolor{midnightblue}{blau}}\) zurück.
Dank der Polynomdivision haben wir die Funktionsgleichung vereinfacht, in eine quadratische Funktion und können nun die restlichen Nullstellen mit Hilfe der Mitternachtsformel oder der pq-Formel bestimmen.
\(x_1=-1 \hspace{0.5cm} und \hspace{0.5cm} x_2=0,6\)
So ergeben sich insgesamt eine einfache und eine doppelte Nullstelle
doppelt einfach
\(N_1(-1|0) \hspace{1cm} N_2(0,6|0) \)
Ein kleiner Tipp
Nicht immer ist die erste Nullstelle gegeben. Doch du musst nicht blind auf die Suche gehen.
Die erste Nullstelle ist immer ein ganzzahliger Teiler des Absolutgliedes.
Das Absolutglied ist das Glied ohne \(x\)
\(f(x)=x^3+0,5x^2-4x-{\textcolor{orange}{2}}\)
Mögliche Teiler:\(\ -2; -1; 0; 1; 2\)
Ausprobieren liefert \(x=-2\) als erste Nullstelle
Horner-Schema
Das Horner-Schema ist eine vereinfachte Form der Polynomdivision. Statt der schriftlichen Division verwenden wir hier eine Tabelle, die das Verfahren übersichtlicher und schneller macht.
Beispiel
\(f(x)=-2x^{\textcolor{orange}{3}}+18x^2-48x+32\)
Wie schon in der Polynomdivision musst du auch hier bereits eine Nullstelle kennen.
\(N(1|0) \hspace{0.5cm} → x_0=1\)
Nun erstellen wir die Tabelle zum Horner-Schema und beginnen sie zu füllen. Die Tabelle hat immer 3 Zeilen. Die Anzahl der Spalten wird berechnet mit dem Grad des Polynoms \(+2\).
1. Schritt
Wir erstellen eine Tabelle mit 5 Spalten und 3 Zeilen und füllen sie mit den Koeffizienten der Funktionsgleichung und der ersten Nullstelle \(x_0=1\):
Den ersten Koeffizienten übernehmen wir direkt nach unten in die letzte Zeile.
2. Schritt
Multipliziere die \({\textcolor{green}{-2}}\) aus der letzten Zeile mit \(1\) - dem Wert der ersten Nullstelle.
Das Ergebnis trägst du in das nächste Feld der mittleren Zeile ein.
Nachdem das Horner-Schema vollständig ist, müssen wir bloß noch das neue Polynom aufschreiben. Dort sind alle Exponenten um 1 niedriger als in der ursprünglichen Funktionsgleichung.
Es bleibt also: \(-2x^2+16x-32\)
Die Lösungen dieser quadratischen Funktion lassen sich ganz leicht mit der Mitternachtsformel oder der pq-Formel bestimmen.
So erhalten wir insgesamt eine doppelte und eine einfache Nullstelle
einfach doppelt
\(N_1(1|0) \hspace{1cm} N_2(4|0) \)
Grenzen Horner-Schema
Das Horner-Schema hat auch seine Grenzen:
Es kann nur verwendet werden, wenn du durch einen Linearfaktor der Form \((x \pm c)\) dividierst.
Falls du durch ein höhergradiges Polynom, wie z.B. \((x^2-2)\) dividieren musst, ist die klassische Polynomdivision erforderlich.
Zusammenfassung
Nullstellen sind ein zentraler Bestandteil der Mathematik und spielen eine wichtige Rolle in vielen Bereichen, von der Analysis bis zur praktischen Anwendung in Naturwissenschaften und Technik. In diesem Beitrag haben wir verschiedene Methoden kennengelernt, um Nullstellen zu berechnen, ihre Eigenschaften zu verstehen und sie sowohl aus Graphen abzulesen als auch Funktionsgleichungen aus gegebenen Punkten aufzustellen. Bevor wir zum Abschluss kommen, fassen wir die wichtigsten Erkenntnisse noch einmal kompakt zusammen.
Anzahl Nullstellen
Eine Funktion hat maximal so viele Nullstellen, wie ihr höchster Grad angibt.
Nullstellen sind ein zentrales Konzept der Mathematik und spielen eine entscheidende Rolle beim Verständnis von Funktionen. Sie sind die Punkte, an denen eine Funktion den Wert Null annimmt und somit die x-Achse schneidet. Ob in der Physik, der Technik oder der Wirtschaft – das Auffinden von Nullstellen hilft, wichtige Zusammenhänge zu erkennen, Gleichungen zu lösen und Prognosen zu treffen. Dieser Beitrag hat verschiedene Methoden vorgestellt, mit denen du Nullstellen berechnen kannst, darunter das Ausklammern, die pq-Formel, die Mitternachtsformel, das Horner-Schema, die Substitution und die Polynomdivision. Zudem haben wir besprochen, wie du Nullstellen aus einem Graphen abliest und Funktionsgleichungen aufstellst. In diesem Abschnitt werfen wir einen genaueren Blick auf die Bedeutung von Nullstellen und ihre historische Entwicklung.
Was sind Nullstellen?
Nullstellen sind die Werte einer Funktion, für die ihr Funktionswert gleich Null ist. Sie sind von großer Bedeutung, da sie zeigen, wo eine Funktion ihre Vorzeichen wechselt. Besonders in der Analysis und Algebra sind sie unverzichtbar, um das Verhalten einer Funktion zu untersuchen. Dabei gibt es verschiedene Arten von Nullstellen: einfache Nullstellen, doppelte Nullstellen und mehrfache Nullstellen, die Einfluss auf das lokale Verhalten einer Funktion haben. Das Wissen über Nullstellen hilft nicht nur beim Lösen von Gleichungen, sondern auch bei der Interpretation von Funktionsverläufen.
Häufige Fehler vermeiden
Bei der Berechnung von Nullstellen gibt es einige Stolpersteine. Ein häufiger Fehler ist das Übersehen von mehrfachen Nullstellen oder das falsche Anwenden von Verfahren wie der pq-Formel oder der Polynomdivision. Zudem können Fehler entstehen, wenn Vorzeichen nicht korrekt beachtet oder Lösungswege zu früh abgebrochen werden. Ein weiterer häufiger Fehler ist das Vernachlässigen von Sonderfällen wie mehrfachen Nullstellen oder komplexen Nullstellen, die nicht sofort sichtbar sind. Eine sorgfältige Überprüfung der eigenen Berechnungen kann helfen, diese Fehler zu vermeiden.
Tipps für effektives Lernen
Um das Finden von Nullstellen zu meistern, solltest du regelmäßig üben und verschiedene Methoden anwenden. Beginne mit einfachen Funktionen und steigere die Komplexität schrittweise. Das Zeichnen von Graphen hilft dabei, ein Gefühl für das Verhalten von Funktionen zu entwickeln. Zudem ist es sinnvoll, Aufgaben mit verschiedenen Lösungswegen zu bearbeiten, um ein tiefgehendes Verständnis zu erlangen. Gruppenarbeit und Diskussionen mit anderen Lernenden können ebenfalls helfen, typische Fehler zu vermeiden und verschiedene Lösungsansätze zu vergleichen.
Ursprünge der Nullstellenberechnung
Die Analyse von Nullstellen reicht bis in die Antike zurück, als Mathematiker begannen, Gleichungen nach ihren Lösungen zu untersuchen. Bereits im alten Babylon wurden Methoden entwickelt, um Lösungen von quadratischen Gleichungen zu finden. Im 17. Jahrhundert legten Mathematiker wie Isaac Newton und René Descartes wichtige Grundlagen für die Nullstellenberechnung. Die Entwicklung von Formeln zur Lösung quadratischer, kubischer und höhergradiger Gleichungen ermöglichte es, systematisch Nullstellen zu bestimmen und ihre Bedeutung für die Mathematik zu erfassen.
Nullstellen im 19. und 20. Jahrhundert
Mit der Weiterentwicklung der Algebra und Analysis wurden immer genauere Methoden zur Bestimmung von Nullstellen entwickelt. Im 19. Jahrhundert führten Mathematiker wie Carl Friedrich Gauß und Évariste Galois Untersuchungen durch, die zur Entwicklung der modernen Nullstellenbestimmung beitrugen. Das 20. Jahrhundert brachte mit der computergestützten Mathematik neue Möglichkeiten zur Berechnung und Visualisierung von Nullstellen, die heute in vielen Wissenschaftsbereichen genutzt werden.
Nullstellen in der modernen Mathematik
Heute sind Nullstellen in zahlreichen Disziplinen von zentraler Bedeutung. Sie spielen eine Rolle in der Physik, Ingenieurwissenschaften, Statistik und Wirtschaft. In der Informatik werden Algorithmen zur Nullstellenberechnung verwendet, um komplexe Probleme zu lösen. Die Fähigkeit, Nullstellen zu bestimmen, ist daher nicht nur für Mathematiker relevant, sondern auch für viele praktische Anwendungen essenziell.
Alle Fragen auf einen Blick - unser FAQ
Damit keine Frage mehr offen bleibt
Nullstellen sind die Punkte einer Funktion, an denen ihr Wert Null ist, also wo sie die x-Achse schneidet.
Nullstellen helfen dabei, das Verhalten einer Funktion zu verstehen, Gleichungen zu lösen und in verschiedenen Wissenschaftsbereichen Prognosen zu erstellen.
Zu den wichtigsten Methoden gehören das Ausklammern, die pq-Formel, die Mitternachtsformel, das Horner-Schema, die Substitution und die Polynomdivision.
Nullstellen sind die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse. Die Anzahl und Lage dieser Punkte geben wichtige Informationen über die Funktion.
Nicht jede Funktion hat eine Nullstelle. Manche Funktionen verlaufen beispielsweise vollständig oberhalb oder unterhalb der x-Achse und haben somit keine reellen Nullstellen.
