Die Welt der Dreiecke
Dreieck - Flächeninhalt & Umfang
Lisa von onmathe •
März 19, 2024
Wir zeigen dir alles, was du brauchst, um den Umfang und den Flächeninhalt von Dreiecken zu berechnen.
Mit vielen Beispielen und anschließenden Übungsaufgaben geben wir dir alles an die Hand, um selbstbewusst in die nächste Mathestunde zu gehen.
Merke
Flächeninhalt: \(A= \dfrac{1}{2} \cdot {\textcolor{orangered}{G}} \cdot {\textcolor{green}{h}} \)
G → Grundseite des Dreiecks
h → Höhe im Dreieck
Umfang: \(U= {\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{blue}{b}} + {\textcolor{orangered}{c}} \)
a, b, c → Seiten des Dreiecks
Das erwartet dich
Unser Inhaltsverzeichnis
Den Umfang berechnen
Den Umfang eines Dreiecks berechnest du, indem du die drei Seiten des Dreiecks zusammen zählst. Sie werden addiert.Wir schreiben auf, wie lang die einzelnen Seiten sind und setzen diese Werte in die Formel für den Umfang ein.
Beispiel
\({\textcolor{orange}{a= 7\ cm}} \ \ \ {\textcolor{blue}{b= 4\ cm}} \ \ \ {\textcolor{orangered}{c= 8\ cm}} \)
\({\textcolor{orange}{a= 7\ cm}} \ \ \ {\textcolor{blue}{b= 4\ cm}} \ \ \ {\textcolor{orangered}{c= 8\ cm}} \)
\(U= {\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{blue}{b}} + {\textcolor{orangered}{c}}\)
\(U= {\textcolor{orange}{7}} + {\textcolor{blue}{4}} + {\textcolor{orangered}{8}}\)
\(U= 19\ cm\)
Das Dreieck hat einen Umfang von \(19\ cm\)
Merke
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Wenn der Umfang gegeben ist
Beispiel
\({ U= 14\ cm \ \ \ \textcolor{orange}{a= 5\ cm}} \ \ \ {\textcolor{orangered}{c= 6\ cm}} \)
\(U= {\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{blue}{b}} + {\textcolor{orangered}{c}} \)
\( 14 = {\textcolor{orange}{5}} + {\textcolor{blue}{b}} + {\textcolor{orangered}{6}} \)
Jetzt können wir die \(11\) auf die andere Seite der Gleichung ziehen:
\(14 = {\textcolor{blue}{b}} + 11 \hspace{2cm}|{\textcolor{green}{-11}}\)
\( 14 {\textcolor{green}{- 11}} = {\textcolor{blue}{b}} + 11 {\textcolor{green}{- 11}}\)
\( 3\ cm = {\textcolor{blue}{b}} \)
Die Seite b ist 3 cm lang.
Den Flächeninhalt berechnen
Merke
Diese beiden gegeben Werte setzen wir in die Formel für den Flächeninhalt ein. Das Produkt aus der halben Grundseite und der Höhe im Dreieck ergibt dann den Flächeninhalt des Dreiecks.
Beispiel
\( {\textcolor{orangered}{c= 8\ cm}} \ \ \ {\textcolor{green}{h= 4 cm}} \)
\(A= \dfrac{1}{2} \cdot {\textcolor{orangered}{G}} \cdot {\textcolor{green}{h}} \)
\(A= \dfrac{1}{2} \cdot {\textcolor{orangered}{8}} \cdot {\textcolor{green}{4}} \)
\(A= 16 cm^2\)
Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von \(16\ cm^2\)
Aber warum hat der Flächeninhalt die Einheit cm\(^2\)? Um das herauszufinden zeigen wir euch eine Rechnung, in der wir die Einheiten mitnehmen.
Die Einheit von Flächen
\(A= \dfrac{1}{2} \cdot G \cdot h \)
\(A= \dfrac{1}{2} \cdot 8\ {\textcolor{orangered}{cm}} \cdot 4\ {\textcolor{orangered}{cm}} \)
Du kannst sehen, dass wir \( {\textcolor{orangered}{cm}} \cdot {\textcolor{orangered}{cm}} \) rechnen, was sich mit einem Quadrat zu \( {\textcolor{orangered}{cm^2}} \) zusammenfassen lässt. Die beiden Zahlen werden einfach multipliziert.
\(A= \dfrac{1}{2} \cdot 32\ {\textcolor{orangered}{cm^2}} \)
\(A= 16\ {\textcolor{orangered}{cm^2}} \)
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Wenn der Flächeninhalt gegeben ist
Beispiel
\( A= 12\ cm^2 \ \ \ {\textcolor{orangered}{c= 6\ cm}}\)
\(A= \dfrac{1}{2} \cdot {\textcolor{orangered}{G}} \cdot {\textcolor{green}{h}} \)
\(12= \dfrac{1}{2} \cdot {\textcolor{orangered}{6}} \cdot {\textcolor{green}{h}} \)
\(12= 3 \cdot {\textcolor{green}{h}} \hspace{2cm} |: 3 \)
\(12 : 3 = 3 : 3 \cdot {\textcolor{green}{h}} \)
\(4\ cm = {\textcolor{green}{h}} \)
Zusatzwissen
\(A= \dfrac{1}{2} \cdot {\textcolor{orangered}{G}} \cdot {\textcolor{green}{h}} \)
\(12\ cm^2 = \dfrac{1}{2} \cdot {\textcolor{orangered}{6\ cm}} \cdot {\textcolor{green}{h}} \)
\(12\ cm^2 = 3\ cm \cdot {\textcolor{green}{h}} \hspace{2 cm} |: 3 \)
\( 12\ cm^2 : 3\ cm = {\textcolor{green}{h}} \)
Wir schreiben die Division in einen Bruch und schauen uns an, was dort passiert:
\( \dfrac{12\ cm^2}{3\ cm} = {\textcolor{green}{h}} \)
\( \dfrac{12\ cm \cdot cm}{3\ cm} = {\textcolor{green}{h}} \)
An dieser Stelle können wir die \(cm\) kürzen...
\( \dfrac{12\ cm \cdot \cancel{cm}}{3\ \cancel{cm}} = {\textcolor{green}{h}} \)
...und die beiden Zahlen dividieren
\( 4\ cm = h \)
Das Quadrat hat sich heraus gekürzt und es bleibt die Einheit \(cm\).
Aufgaben
Bestimme alle fehlenden Angaben und ergänze die Tabelle. Achte auf die Einheiten!
a | \(1,5\ cm\) | \(30\ cm\) | |
b | \(20\ cm\) | \(13\ mm\) | \(2,5\ dm\) |
c | \(25\ cm\) | ||
h | \(12\ mm\) | \(9\ cm\) | |
U | \(60\ cm\) | \(80\ cm\) | |
A | \(150\ cm^2\) | \(84\ mm^2\) |
Lösungen
a | \(15\ cm\) | \(1,5\ cm\) | \(30\ cm\) |
b | \(20\ cm\) | \(13\ mm\) | \(2,5\ dm\) |
c | \(25\ cm\) | \(14\ cm\) | \(25\ cm\) |
h | \(12\ cm\) | \(12\ mm\) | \(24\ cm\) |
U | \(60\ cm\) | \(4,2\ cm\) | \(80\ cm\) |
A | \(150\ cm^2\) | \(84\ mm^2\) | \(300\ cm^2\) |
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