Die Welt der Dreiecke

Dreieck - Flächeninhalt & Umfang

Lisa von onmathe • März 19, 2024
Dreieck - Flächeninhalt & Umfang
Wir zeigen dir alles, was du brauchst, um den Umfang und den Flächeninhalt von Dreiecken zu berechnen. Mit vielen Beispielen und anschließenden Übungsaufgaben geben wir dir alles an die Hand, um selbstbewusst in die nächste Mathestunde zu gehen.

allgemeines Dreieck

Merke
Flächeninhalt: \(A= \dfrac{1}{2} \cdot {\textcolor{orangered}{G}} \cdot {\textcolor{green}{h}} \)
G →   Grundseite des Dreiecks
h →   Höhe im Dreieck
Umfang: \(U= {\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{blue}{b}} + {\textcolor{orangered}{c}} \)
a, b, c →   Seiten des Dreiecks

Den Umfang berechnen

Den Umfang eines Dreiecks berechnest du, indem du die drei Seiten des Dreiecks zusammen zählst. Sie werden addiert.
Wir schreiben auf, wie lang die einzelnen Seiten sind und setzen diese Werte in die Formel für den Umfang ein.
Beispiel
\({\textcolor{orange}{a= 7\ cm}} \ \ \ {\textcolor{blue}{b= 4\ cm}} \ \ \ {\textcolor{orangered}{c= 8\ cm}} \)
Um die Rechnung übersichtlicher zu gestalten, lassen wir zunächst die Einheiten weg, und fügen sie erst im Endergebnis wieder hinzu.
\({\textcolor{orange}{a= 7\ cm}} \ \ \ {\textcolor{blue}{b= 4\ cm}} \ \ \ {\textcolor{orangered}{c= 8\ cm}} \)
\(U= {\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{blue}{b}} + {\textcolor{orangered}{c}}\)
\(U= {\textcolor{orange}{7}} + {\textcolor{blue}{4}} + {\textcolor{orangered}{8}}\)
\(U= 19\ cm\)
Das Dreieck hat einen Umfang von \(19\ cm\)
Merke
\(U= {\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{blue}{b}} + {\textcolor{orangered}{c}} \)

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Wenn der Umfang gegeben ist

Beispiel
\({ U= 14\ cm \ \ \ \textcolor{orange}{a= 5\ cm}} \ \ \ {\textcolor{orangered}{c= 6\ cm}} \)
Manchmal ist auch der Umfang gegeben, und wir sollen eine fehlende Seite berechnen. Dabei gehen wir ebenso vor wie im ersten Beispiel. Wir setzen die gegebenen Werte in die Umfangsformel ein.
\(U= {\textcolor{orange}{a}} + {\textcolor{blue}{b}} + {\textcolor{orangered}{c}} \)
\( 14 = {\textcolor{orange}{5}} + {\textcolor{blue}{b}} + {\textcolor{orangered}{6}} \)
Um die Seite \({\textcolor{blue}{b}}\) zu berechnen, müssen wir die Gleichung umstellen. Die Zahlen auf der rechten Seite der Gleichung werden zusammengefasst → \( {\textcolor{orange}{5}} + {\textcolor{orangered}{6}} = 11 \)
Jetzt können wir die \(11\) auf die andere Seite der Gleichung ziehen:
\(14 = {\textcolor{blue}{b}} + 11 \hspace{2cm}|{\textcolor{green}{-11}}\)
\( 14 {\textcolor{green}{- 11}} = {\textcolor{blue}{b}} + 11 {\textcolor{green}{- 11}}\)
\( 3\ cm = {\textcolor{blue}{b}} \)
Die Seite b ist 3 cm lang.

Den Flächeninhalt berechnen

Merke
\(A= \dfrac{1}{2} \cdot {\textcolor{orangered}{G}} \cdot {\textcolor{green}{h}} \)
Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du mithilfe der Grundseite und der Höhe im Dreieck.
Diese beiden gegeben Werte setzen wir in die Formel für den Flächeninhalt ein. Das Produkt aus der halben Grundseite und der Höhe im Dreieck ergibt dann den Flächeninhalt des Dreiecks.
Beispiel
\( {\textcolor{orangered}{c= 8\ cm}} \ \ \ {\textcolor{green}{h= 4 cm}} \)
Auch beim Berechnen des Flächeninhalts halten wir die Einheiten aus der Rechnung heraus, um sie dann im Endergebnis zu ergänzen. Das macht die Rechnung übersichtlicher.

\(A= \dfrac{1}{2} \cdot {\textcolor{orangered}{G}} \cdot {\textcolor{green}{h}} \)
\(A= \dfrac{1}{2} \cdot {\textcolor{orangered}{8}} \cdot {\textcolor{green}{4}} \)
\(A= 16 cm^2\)
Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von \(16\ cm^2\)
Aber warum hat der Flächeninhalt die Einheit cm\(^2\)?
Um das herauszufinden zeigen wir euch eine Rechnung, in der wir die Einheiten mitnehmen.

Die Einheit von Flächen
\(A= \dfrac{1}{2} \cdot G \cdot h \)
\(A= \dfrac{1}{2} \cdot 8\ {\textcolor{orangered}{cm}} \cdot 4\ {\textcolor{orangered}{cm}} \)
Du kannst sehen, dass wir \( {\textcolor{orangered}{cm}} \cdot {\textcolor{orangered}{cm}} \) rechnen, was sich mit einem Quadrat zu \( {\textcolor{orangered}{cm^2}} \) zusammenfassen lässt. Die beiden Zahlen werden einfach multipliziert.
\(A= \dfrac{1}{2} \cdot 32\ {\textcolor{orangered}{cm^2}} \)
\(A= 16\ {\textcolor{orangered}{cm^2}} \)
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Wenn der Flächeninhalt gegeben ist

Beispiel
\( A= 12\ cm^2 \ \ \ {\textcolor{orangered}{c= 6\ cm}}\)
Ist der Flächeninhalt bereits in der Aufgabenstellung gegeben, ist es unsere Aufgabe die fehlende Seite zu ermitteln. Dazu setzen wir alle Werte, die wir bereits haben, in die Gleichung zur Berechnung des Flächeninhalts ein.
\(A= \dfrac{1}{2} \cdot {\textcolor{orangered}{G}} \cdot {\textcolor{green}{h}} \)
\(12= \dfrac{1}{2} \cdot {\textcolor{orangered}{6}} \cdot {\textcolor{green}{h}} \)
Wir fassen so weit wie möglich zusammen, und stellen die Gleichung dann um:
\(12= 3 \cdot {\textcolor{green}{h}} \hspace{2cm} |: 3 \)
\(12 : 3 = 3 : 3 \cdot {\textcolor{green}{h}} \)
\(4\ cm = {\textcolor{green}{h}} \)
Das Dreieck hat eine Höhe von \({\textcolor{green}{4\ cm}} \). Aber wo ist jetzt das Quadrat in der Einheit hin?
Zusatzwissen
\(A= \dfrac{1}{2} \cdot {\textcolor{orangered}{G}} \cdot {\textcolor{green}{h}} \)
\(12\ cm^2 = \dfrac{1}{2} \cdot {\textcolor{orangered}{6\ cm}} \cdot {\textcolor{green}{h}} \)
\(12\ cm^2 = 3\ cm \cdot {\textcolor{green}{h}} \hspace{2 cm} |: 3 \)
\( 12\ cm^2 : 3\ cm = {\textcolor{green}{h}} \)
Wir schreiben die Division in einen Bruch und schauen uns an, was dort passiert:
\( \dfrac{12\ cm^2}{3\ cm} = {\textcolor{green}{h}} \)
\( \dfrac{12\ cm \cdot cm}{3\ cm} = {\textcolor{green}{h}} \)
An dieser Stelle können wir die \(cm\) kürzen...
\( \dfrac{12\ cm \cdot \cancel{cm}}{3\ \cancel{cm}} = {\textcolor{green}{h}} \)
...und die beiden Zahlen dividieren
\( 4\ cm = h \)
Das Quadrat hat sich heraus gekürzt und es bleibt die Einheit \(cm\).

Aufgaben

Bestimme alle fehlenden Angaben und ergänze die Tabelle. Achte auf die Einheiten!

a \(1,5\ cm\) \(30\ cm\)
b \(20\ cm\) \(13\ mm\) \(2,5\ dm\)
c \(25\ cm\)
h \(12\ mm\) \(9\ cm\)
U \(60\ cm\) \(80\ cm\)
A \(150\ cm^2\) \(84\ mm^2\)

Lösungen

a \(15\ cm\) \(1,5\ cm\) \(30\ cm\)
b \(20\ cm\) \(13\ mm\) \(2,5\ dm\)
c \(25\ cm\) \(14\ cm\) \(25\ cm\)
h \(12\ cm\) \(12\ mm\) \(24\ cm\)
U \(60\ cm\) \(4,2\ cm\) \(80\ cm\)
A \(150\ cm^2\) \(84\ mm^2\) \(300\ cm^2\)