Was ist die Diskriminante und warum ist sie wichtig für Dich?

Die Diskriminante ist ein Teil der quadratischen Gleichung, der Dir Auskunft über die Art und Anzahl der Lösungen gibt. Ihre Bedeutung liegt darin, dass sie Dir hilft zu verstehen, ob eine Gleichung reelle Lösungen hat, und wenn ja, wie viele.

Wie erkennst Du, ob eine quadratische Gleichung lösbar ist?

Überprüfe die Diskriminante: Ist sie positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen; ist sie null, gibt es genau eine reelle Lösung; ist sie negativ, gibt es keine reellen Lösungen.

Welche Strategien gibt es, um mit quadratischen Gleichungen umzugehen?

Neben der Anwendung der Mitternachtsformel und der Diskriminante kannst Du quadratische Gleichungen durch Faktorisieren, Quadratische Ergänzung oder grafische Methoden lösen.

Wie kann 1:1 Nachhilfe Dir bei Mathematik helfen?

Individuelle Nachhilfe ermöglicht es Dir, spezifische Fragen zu klären, persönliche Lernstrategien zu entwickeln und komplexe Themen wie quadratische Gleichungen schrittweise zu verstehen.

Wie kannst Du Dein Verständnis für quadratische Gleichungen verbessern?

Übung ist entscheidend. Löse unterschiedliche Aufgaben, verwende Lern-Apps und diskutiere Probleme in Deiner Nachhilfestunde.

Was solltest Du tun, wenn Du bei einer Aufgabe feststeckst?

Nimm eine kurze Pause und versuche es erneut. Wenn Du immer noch Schwierigkeiten hast, frage Deinen Nachhilfelehrer oder nutze Online-Ressourcen zur Klärung.

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Schritt für Schritt erklärt

Die Mitternachtsformel

Gregor von Onmathe · Okt. 28, 2023

Du lernst, wie du die Mitternachtsformel richtig anwendest, gängige Fehler vermeidest und Gleichungen der Form

\[ax^2+bx+c=0\]

mit Hilfe der Mitternachtsformel

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

lösen kannst.

Ein einfaches Beispiel

Wir nehmen die quadratische Gleichung

\[\textcolor{orangered}{2}x^2\textcolor{orange}{-4}x\textcolor{green}{-6}=0\]

\(\large{\textcolor{orangered}{a}}\) ist immer das, was vor \(x^2\) steht → \(\large{\textcolor{orangered}{a = 2}} \)
\(\large{\textcolor{orange}{b}}\) ist immer das, was vor \(x\) steht → \(\large{\textcolor{orange}{b=-4}}\)
\(\large{\textcolor{green}{c}}\) ist die Zahl ohne \(x\), das so genannte Absolutglied → \(\large{\textcolor{green}{c= -6}}\)
Achte darauf, dass Du immer das Vorzeichen mitnimmst!

Jetzt setzen wir \(\large{\textcolor{orangered}{a}}\), \(\large{\textcolor{orange}{b}}\) und \(\large{\textcolor{green}{c}}\) in die Mitternachtsformel ein und berechnen \(x_1\) und \(x_2\):

\[ x_{1,2} = \frac{-(\textcolor{orange}{-4}) \pm \sqrt{(\textcolor{orange}{-4})^2 - 4*\textcolor{orangered}{2}*(\textcolor{green}{-6})}}{2*\textcolor{orangered}{2}} \]

Nebenrechnung: \[-(\textcolor{orange}{-4})= +4 \] \[(\textcolor{orange}{-4})^2=+16\] \[ \underbrace{-4*\textcolor{orangered}{2}}_{-8}*(\textcolor{green}{-6})= -8*(\textcolor{green}{-6})=+48 \]

\[2*\textcolor{orangered}{2}= +4 \]

\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16+48}}{4}\]

\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{4}\]

\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm 8}{4}\]

\[ x_{1} = \frac{4 \textcolor{orangered}{+} 8}{4}\]

\[ x_{2} = \frac{4 \textcolor{orangered}{-} 8}{4}\]

\[ x_1 = 3\]

\[ x_2 = -1\]

Häufige Fehler, die Dir nicht passieren dürfen

Oft wird für \(-b\) einfach \(-4\) eingesetzt statt \(\textcolor{orangered}{-}(-4)\). Es ist nämlich so, das bereits \(b=-4\) ist, und wegen \(\textcolor{orangered}{-}b\) kommt ein "Extra-Minus" dazu, also \(\textcolor{orangered}{-}b\) → \(\textcolor{orangered}{-}(-4)\)
Innerhalb der Wurzel könnte man meinen, dass für \(b^2\) → \(-4^2\) eingesetzt wird. Das ist Falsch: Denn hier muss eine Klammer gesetzt werden → \((-4)^2\). Ohne diese Klammer wird nur die \(4\) quadriert, was \(\textcolor{orangered}{-}16\) ergibt. Richtig wird es also nur dann, wenn Du eine Klammer setzt → \((-4)^2=\textcolor{green}{+}16\)

Gut zu Wissen

Die Mitternachtsformel ist das Lösungsverfahren Deiner Wahl, wenn Du in einer Gleichung Summanden, also "etwas" mit \(x^2\) , "etwas" mit \(x\) und eine Zahl "ohne" \(x\) hast und, ganz wichtig, noch der ganze Term mit Null gleichgesetzt ist.
Denke daran, dass Du weder das \(x^2\) noch das \(x\) selbst in die Mitternachtsformel einsetzt, sondern immer nur das, was davor steht - die sogenannten Koeffizienten \(a\), \(b\) und \(c\).
Achte darauf, das Du beim bestimmen von \(a\), \(b\) und \(c\) auch immer das zugehörige Vorzeichen mitnimmst.

Das erwartet dich

Unser Inhaltsverzeichnis

Was ist die Diskriminante (D)?
Zwei Lösungen für D>0
Eine Lösungen für D=0
Keine Lösungen für D<0
Effektive Hausaufgabenhilfe mit Onmathe
Warum Onmathe wählen?

Was ist die Diskriminante?

Die Diskriminante ist der Teil der Mitternachtsformel, der unter der Wurzel steht → \(b^2 - 4ac\). Je nachdem ob das Ergebnis von

\[D=b^2 - 4ac\]

positiv, Null oder negativ ist, gibt es zwei, eine oder auch keine Lösung.

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Zwei Lösungen für \(D>0\)

Wenn die Diskriminante größer als null ist, hat die Gleichung zwei verschiedene Lösungen. Der Graph der Funktion schneidet dann die x-Achse an zwei Stellen.

Warum ist das so?

Vielleicht weißt Du schon, dass man die Wurzel nur aus positiven Zahlen ziehen kann.

Wenn also das Ergebnis von \(b^2 - 4ac\) positiv ist, kann man die Wurzel davon ziehen → \(\sqrt{b^2 - 4ac}\).

Weil jetzt noch vor der Wurzel das \(\pm\) in der Mitternachtsformel zu finden ist, wird einmal

\(+\)\(\sqrt{b^2 - 4ac}\)

und einmal

\(-\)\(\sqrt{b^2 - 4ac}\)

gerechnet, wodurch zwei Lösungen entstehen.

Eine Lösung für \(D=0\)

Wenn die Diskriminante null ist, hat die Gleichung genau eine Lösung. Der Graph der Parabel berührt dann die x-Achse mit dem Scheitelpunkt.

Warum ist das so?

Ist die Diskriminante \(D=0\) bedeutet dies, dass \(b^2 - 4ac=0\) ist. Deshalb ist \(\sqrt{b^2 - 4ac}=\sqrt{0}=0\).

Wenn also die Wurzel in der Mitternachtsformel gleich null ist, worauf soll dann noch das \(\pm\) "wirken"?

\(\pm 0\) ist immer einfach nur \(0\). Darum bleibt von der Mitternachtsformel nur noch folgendes übrig: \[x_{1,2} = \frac{-b \pm 0}{2a}=\frac{-b}{2a}\], also genau eine Lösung, die man doppelte Nullstelle nennt, weil \(x_1\) und \(x_2\) das gleiche sind.

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Keine Lösungen für \(D<0\)

Wenn die Diskriminante negativ ist, gibt es keine Lösung. Der Graph der Parabel schneidet dann die x-Achse nirgends.

Warum ist das so?

Ist die Diskriminante \(D<0\) bedeutet dies, dass \(b^2 - 4ac<0\) ist, also negativ.

Damit können wir schon aufhören zu rechnen, weil die \(\sqrt{b^2 - 4ac}\) nicht existiert → keine Lösung.

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Damit keine Frage mehr offen bleibt

: Die Diskriminante ist ein Teil der quadratischen Gleichung, der Dir Auskunft über die Art und Anzahl der Lösungen gibt. Ihre Bedeutung liegt darin, dass sie Dir hilft zu verstehen, ob eine Gleichung reelle Lösungen hat, und wenn ja, wie viele.
: Überprüfe die Diskriminante: Ist sie positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen; ist sie null, gibt es genau eine reelle Lösung; ist sie negativ, gibt es keine reellen Lösungen.
: Neben der Anwendung der Mitternachtsformel und der Diskriminante kannst Du quadratische Gleichungen durch Faktorisieren, Quadratische Ergänzung oder grafische Methoden lösen.
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