Schritt für Schritt erklärt
Die Mitternachtsformel
Ein einfaches Beispiel
Wir nehmen die quadratische Gleichung- \(\large{\textcolor{orangered}{a}}\) ist immer das, was vor \(x^2\) steht → \(\large{\textcolor{orangered}{a = 2}} \)
- \(\large{\textcolor{orange}{b}}\) ist immer das, was vor \(x\) steht → \(\large{\textcolor{orange}{b=-4}}\)
- \(\large{\textcolor{green}{c}}\) ist die Zahl ohne \(x\), das so genannte Absolutglied → \(\large{\textcolor{green}{c= -6}}\)
- Achte darauf, dass Du immer das Vorzeichen mitnimmst!
Jetzt setzen wir \(\large{\textcolor{orangered}{a}}\), \(\large{\textcolor{orange}{b}}\) und \(\large{\textcolor{green}{c}}\) in die Mitternachtsformel ein und berechnen \(x_1\) und \(x_2\):
Häufige Fehler, die Dir nicht passieren dürfen
- Oft wird für \(-b\) einfach \(-4\) eingesetzt statt \(\textcolor{orangered}{-}(-4)\). Es ist nämlich so, das bereits \(b=-4\) ist, und wegen \(\textcolor{orangered}{-}b\) kommt ein "Extra-Minus" dazu, also \(\textcolor{orangered}{-}b\) → \(\textcolor{orangered}{-}(-4)\)
- Innerhalb der Wurzel könnte man meinen, dass für \(b^2\) → \(-4^2\) eingesetzt wird. Das ist Falsch: Denn hier muss eine Klammer gesetzt werden → \((-4)^2\). Ohne diese Klammer wird nur die \(4\) quadriert, was \(\textcolor{orangered}{-}16\) ergibt. Richtig wird es also nur dann, wenn Du eine Klammer setzt → \((-4)^2=\textcolor{green}{+}16\)
Gut zu Wissen
- Die Mitternachtsformel ist das Lösungsverfahren Deiner Wahl, wenn Du in einer Gleichung Summanden, also "etwas" mit \(x^2\) , "etwas" mit \(x\) und eine Zahl "ohne" \(x\) hast und, ganz wichtig, noch der ganze Term mit Null gleichgesetzt ist.
- Denke daran, dass Du weder das \(x^2\) noch das \(x\) selbst in die Mitternachtsformel einsetzt, sondern immer nur das, was davor steht - die sogenannten Koeffizienten \(a\), \(b\) und \(c\).
- Achte darauf, das Du beim bestimmen von \(a\), \(b\) und \(c\) auch immer das zugehörige Vorzeichen mitnimmst.
Das erwartet dich
Unser Inhaltsverzeichnis
Was ist die Diskriminante?
Die Diskriminante ist der Teil der Mitternachtsformel, der unter der Wurzel steht → \(b^2 - 4ac\). Je nachdem ob das Ergebnis von
Warum ist das so?
Vielleicht weißt Du schon, dass man die Wurzel nur aus positiven Zahlen ziehen kann. Wenn also das Ergebnis von \(b^2 - 4ac\) positiv ist, kann man die Wurzel davon ziehen → \(\sqrt{b^2 - 4ac}\). Weil jetzt noch vor der Wurzel das \(\pm\) in der Mitternachtsformel zu finden ist, wird einmalWarum ist das so?
Ist die Diskriminante \(D=0\) bedeutet dies, dass \(b^2 - 4ac=0\) ist. Deshalb ist \(\sqrt{b^2 - 4ac}=\sqrt{0}=0\). Wenn also die Wurzel in der Mitternachtsformel gleich null ist, worauf soll dann noch das \(\pm\) "wirken"? \(\pm 0\) ist immer einfach nur \(0\). Darum bleibt von der Mitternachtsformel nur noch folgendes übrig: \[x_{1,2} = \frac{-b \pm 0}{2a}=\frac{-b}{2a}\], also genau eine Lösung, die man doppelte Nullstelle nennt, weil \(x_1\) und \(x_2\) das gleiche sind.
Warum ist das so?
Ist die Diskriminante \(D<0\) bedeutet dies, dass \(b^2 - 4ac<0\) ist, also negativ. Damit können wir schon aufhören zu rechnen, weil die \(\sqrt{b^2 - 4ac}\) nicht existiert → keine Lösung.Mathe lernen leicht gemacht!
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