pq-Formel: schnell gelernt mit einfachen Beispielen und Tipps

Schritt für Schritt erklärt

Die pq-Formel

Lisa von onmathe • Dez. 20, 2023
Die pq-Formel

Du erlernst das Lösen quadratischer Gleichungen mithilfe der pq-Formel anhand einfacher Beispiele. Außerdem bekommst du Übungsaufgaben um das Gelernte zu vertiefen.

1. Beispiel

\[0=x^2+\textcolor{orangered}{9}x+\textcolor{orange}{8}\]

Das ist eine quadratische Gleichung in der Normalform. Die Normalform einer quadratischen Gleichung ist immer gleich aufgebaut:

\[ f(x)=x^2 + \textcolor{orangered}{p}x + \textcolor{orange}{q} \]

Und weil das so ist, können wir aus der Beispielgleichung ganz bequem \(\textcolor{orangered}{p}\) und \(\textcolor{orange}{q}\) herauslesen.

\[ \begin{array}{ccc} & x^2 & + \textcolor{orangered}{p}x & + \textcolor{orange}{q} \\ & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ & x^2 & +\textcolor{orangered}{9}x & + \textcolor{orange}{8} & =0 \\ & & \downarrow & \downarrow \\ & & \textcolor{orangered}{p=9} & \textcolor{orange}{q=8} \end{array} \]

Jetzt machen wir mit der pq-Formel weiter:
\[x_{1,2}=-\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2}\right)^2-\textcolor{orange}{q}}\]

Siehst du das \(\textcolor{orangered}{p}\) und das \(\textcolor{orange}{q}\) in der Formel? An diese Stellen setzen wir unsere Werte aus der quadratischen Gleichung ein.

\[ \begin{array}{ccc} & x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{q}\end{array}} \end{array} \\ & & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\ & & \textcolor{orangered}{p=9} & \begin{array}{cc} & & \textcolor{orangered}{p=9} & \textcolor{orange}{q=8} \end{array} \\ & & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\ & x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{9}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{9}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{8}\end{array}} \end{array} \\ \end{array} \]

Nachem wir \(\textcolor{orangered}{p}\) und \(\textcolor{orange}{q}\) eingesetzt haben können wir die Lösung berechnen:

\[ \begin{array}{ccc} & x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{9}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{9}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{8}\end{array}} \end{array} \\ & & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\ & x_{1,2}= & -4,5 & \pm \underbrace{ \sqrt{ 20,25 - \textcolor{orange}{8}} } \\ & \\ & x_{1,2}= & -4,5 & \pm \sqrt{ 12,25 } \\ & \\ & x_{1,2}= & -4,5 & \textcolor{green}{\pm} 3,5 \\ \end{array} \]

Das \(\textcolor{green}{\pm}\) in der Gleichung sagt, dass du einmal \(\textcolor{green}{+}\) und einmal \(\textcolor{green}{-}\) rechnen musst, um \(x_1\) und \(x_2\) zu bestimmen.

\[ \begin{array}{cc} x_1= -4,5 \textcolor{green}{+} 3,5 && x_2= -4,5 \textcolor{green}{-} 3,5 \\ \end{array} \]
\(x_1= -1\)
\(x_2= -8\)

Achtung: Denke daran, dass du beim Ausdruck \(\left(\frac{p}{2}\right)^2\) die Klammer setzt. Auch beim Tippen in den Taschenrechner!

2. Beispiel

\[x^2 \textcolor{orangered}{-2}x\textcolor{orange}{-8} =0\]

In dieser Gleichung haben sowohl \(\textcolor{orangered}{p}\) als auch \(\textcolor{orange}{q}\) ein Minus vor sich. Das ist wichtig, wenn wir \(\textcolor{orangered}{p}\) und \(\textcolor{orange}{q}\) ablesen.

\[ \begin{array}{ccc} & x^2 & + \textcolor{orangered}{p}x & + \textcolor{orange}{q} \\ & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ & x^2 & \textcolor{orangered}{-2}x & \textcolor{orange}{-8} & =0\\ & & \downarrow & \downarrow \\ & & \textcolor{orangered}{p=-2} & \textcolor{orange}{q=-8} \end{array} \]

Wichtig: die Vorzeichen vor \(\textcolor{orangered}{p}\) und \(\textcolor{orange}{q}\) musst du beim Ablesen immer mitnehmen!

Nun setzen wir die Werte wieder in die pq-Formel ein, um die Lösung zu berechnen.
\[ \begin{array}{ccc} & x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{q}\end{array}} \end{array} \\ & & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\ & & \textcolor{orangered}{p=-2} & \begin{array}{cc} & & \textcolor{orangered}{p=-2} & \textcolor{orange}{q=-8} \end{array} \\ & & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\ & x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{(-2)}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{(-2)}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{(-8)}\end{array}} \end{array} \\ \end{array} \]

Hier musst du besonders darauf achten alle negativen Zahlen in Klammern zu setzen.

\[ \begin{array}{ccc} & x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{(-2)}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{(-2)}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{(-8)}\end{array}} \end{array} \\ & & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\ & x_{1,2}= & 1 & \pm \underbrace{ \sqrt{ 1 + \textcolor{orange}{8}} } \\ & \\ & x_{1,2}= & 1 & \pm \sqrt{ 9 } \\ & \\ & x_{1,2}= & 1 & \pm 3 \\ \end{array} \]

Jetzt wieder einmal \(\textcolor{green}{+}\) und einmal \(\textcolor{green}{-}\) rechnen um \(x_1\) und \(x_2\) zu bestimmen.
\[ \begin{array}{cc} x_1= 1 \textcolor{green}{+} 3 &&& x_2= 1 \textcolor{green}{-} 3 \\ \end{array} \]
\(x_1= 4\)
\(x_2= -2\)

3. Beispiel

\[\textcolor{midnightblue}{4}x^2+80x-176=0\]
In dieser quadratischen Gleichung steht vor dem \(x^2\) der Faktor 4. Um \(\textcolor{orangered}{p}\) und \(\textcolor{orange}{q}\) ablesen zu können muss das \(x^2\) immer alleine stehen. Das erreichst du, indem du die ganze Gleichung durch den Faktor dividierst:

\[ \begin{array}{cccc} \textcolor{midnightblue}{4}x^2 & +80x & -176 & =0 & \hspace{3mm} |:\textcolor{midnightblue}{4} \\ \\ \downarrow :4 & \downarrow :4 & \downarrow :4 & \downarrow :4\\ \\ x^2 & +20x & -44 & =0 \end{array} \]

Es ist ganz wichtig, dass du jeden einzelnen Summanden durch 4 dividierst. Die Pfeile unter jedem Summanden in der Rechnung verdeutlichen das.

Nun ist die Gleichung in der Normalform und du kannst \(\textcolor{orangered}{p}\) und \(\textcolor{orange}{q}\) ablesen.

\[ \begin{array}{ccc} x^2 & \textcolor{orangered}{+20}x & \textcolor{orange}{-44} & =0 \\ & \downarrow & \downarrow & \\ & \textcolor{orangered}{p=20} & \textcolor{orange}{q=-44} \end{array} \]

An dieser Stelle setzen wir wieder in die pq-Formel ein um die Lösung der Gleichung zu berechnen. Denk dabei an alle Klammern und daran, dass du am Ende \(+\) und \(-\) getrennt betrachtest.

\[ \begin{array}{ccc} x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{q}\end{array}} \end{array} \\ & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\ & \textcolor{orangered}{p=20} & \begin{array}{cc} & & \textcolor{orangered}{p=20} & \textcolor{orange}{q=-44} \end{array} \\ & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\ x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{20}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{20}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{(-44)}\end{array}} \end{array} \\ & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\ x_{1,2}= & -10 & \pm \underbrace{ \sqrt{ 100 + \textcolor{orange}{44}} } \\ & \\ x_{1,2}= & -10 & \pm \sqrt{ 144 } \\ & \\ x_{1,2}= & -10 & \pm 12 \\ \\ x_1= -10 \textcolor{green}{+} 12 && x_2= -10 \textcolor{green}{-} 12 \\ \end{array} \]
\(x_1= 2\)
\(x_2= -22\)

Du hast jetzt in 3 Beispielen gelernt die pq-Formel richtig anzuwenden:
  • \(\textcolor{orangered}{p}\) und \(\textcolor{orange}{q}\) müssen an der Normalform abgelesen werden.
  • Steht vor dem \(x^2\) ein Faktor musst du zunächst die ganze Gleichung durch diesen Faktor dividieren
  • Achte beim Einsetzen darauf, dass du alle negativen Zahlen in Klammern gesetzt hast.
  • Vergiss nicht die Klammer beim Ausdruck \(\left(\frac{p}{2}\right)^2\)
  • Auch beim Tippen in den Taschenrechner sind die Klammern sehr wichtig.

Besonderheiten in der Rechnung

Hier zeigen wir dir noch 2 Besonderheiten, die beim Rechnen mit der pq-Formel auftreten können. Da du dazu inzwischen schon einiges weißt, werden wir es ein wenig kürzer halten.

1. Besonderheit

\[x^2\textcolor{orangered}{-12}x\textcolor{orange}{+36}=0 \] \[\textcolor{orangered}{p=-12} \quad \textcolor{orange}{q=36}\]
\[ \begin{array}{ccc} x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{(-12)}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{(-12)}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{(36)}\end{array}} \end{array} \\ & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\ x_{1,2}= & 6 & \pm \underbrace{ \sqrt{ 36 - \textcolor{orange}{36}} } \\ & \\ x_{1,2}= & 6 & \pm \sqrt{ 0 } \\ & & \downarrow \\ x_{1,2}= & 6 & \text{fällt weg} \end{array} \]
\[x=6\]

Ergibt die Rechnung unter der Wurzel 0, so hat die quadratische Gleichung nur eine Lösung.

2. Besonderheit

\[x^2\textcolor{orangered}+{2}x\textcolor{orange}{+4}=0 \] \[\textcolor{orangered}{p=2} \quad \textcolor{orange}{q=4}\]
\[ \begin{array}{ccc} x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{2}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{2}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{(4)}\end{array}} \end{array} \\ & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\ x_{1,2}= & -1 & \pm \underbrace{ \sqrt{ 1 - \textcolor{orange}{4}} } \\ & \\ x_{1,2}= & -1 & \pm \sqrt{ -3 } \\ & & \downarrow \\ x_{1,2}= & -1 & \text{nicht lösbar} \end{array} \]
\[\text{keine Lösung}\]

Ergibt die Rechnung unter der Wurzel eine negative Zahl, so hat die quadratische Gleichung keine Lösung. Es ist nicht möglich, die Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen.

Zusatzwissen: den Teil der Rechnung, der unter der Wurzel stattfindet nennt man Diskriminante. Die Diskriminante ist entscheident für die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung.

Was ist eine Diskriminante?

Die Diskriminante ist der Teil der pq-Formel, der unter der Wurzel steht → \(\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\)

Was sagt die Diskriminante aus?

Mithilfe der Diskriminante kannst du bestimmen, wie viele Lösungen deine Gleichung hat. Es gibt drei Möglichkeiten, die davon abhängig sind, ob die Diskriminante positiv, Null oder Negativ ist.

Wie viele Lösungen hat meine quadratische Gleichung?

Um das zu bestimmen betrachtest du die Diskriminante. Es gibt drei Möglichkeiten, was passieren kann:
  1. Die Diskriminante ist positiv → die quadratische Gleichung hat 2 Lösungen
  2. \(D > 0\) → 2 Lösungen
  3. Die Diskriminante ist negativ → die quadratische Gleichung hat genau eine Lösung
  4. \(D = 0\) → genau eine Lösung
  5. Die Diskriminante ist gleich Null → die quadratische Gleichung hat keine Lösung
  6. \(D < 0\) → keine Lösung

Wozu nutzt man die pq-Formel?

Mit Hilfe der pq-Formel löst man quadratische Gleichungen. Das wird im Unterricht zum berechnen der Lösungsmenge einer quadratischen Gleichungen benutzt, aber auch um die Nullstellen quadratischer Funktionen zu bestimmen.
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion entsprechen immer der Lösung der mit Null gleichgesetzten Funktion.

Aufgaben

Übung 1: Bestimme die Lösungsmenge mit Hilfe der pq-Formel

1. \( x^2+6x+5 = 0\) 2. \( x^2-14x-32=0 \)
3. \( x^2+8x-20=0 \) 4. \( x^2-10x+25=0 \)
5. \( x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=0\) 6. \( x^2-2,4x+1,44=0 \)

Übung 2: Nutze die pq-Formel um die Gleichung zu lösen

Tipp: Achte auf den Faktor vor dem \(x^2\).

1. \( 3x^2+30x+75=0\)
2. \( -12x^2+96x+240=0 \)
3. \( 1,5x^2+12x+10,5=0 \)
4. \( 2x^2+40x-88=0 \)
5. \( 5x^2-25x-120=0 \)
6. \( -1,2x^2+6x+7,2=0 \)

Übung 3: Ein bisschen was zum Knobeln

Tipp: manchmal musst du die Gleichung zunächst umstellen, bevor du lösen kannst.

1. \( 2x^2-8x=10 \)
2. \( 5x^2-5x=-30 \)
3. \( 6x^2=-48x-42 \)
4. \( x^2+10=5x \)
5. \( 5x^2-25x+12=-18 \)
6. \( 8x^2-6x+8=7 \)

Aufgaben

Übung 1: Bestimme die Lösungsmenge mit Hilfe der pq-Formel

1. \( x_1=-1 \hspace{1cm} x_2=-5\) 2. \( x_1=16 \hspace{1cm} x_2=-2\)
3. \( x_1=2 \hspace{1cm} x_2=-10\) 4. \( x=5\)
5. keine Lösung 6. \( x_1=1 \hspace{1cm} x_2=2\)

Übung 2: Nutze die pq-Formel um die Gleichung zu lösen

Tipp: Achte auf den Faktor vor dem \(x^2\).

1. \( x_1=-5 \)
2. \( x_1=-2 \hspace{1cm} x_2=10\)
3. \( x_1=-1 \hspace{1cm} x_2=-7\)
4. \( x_1=-1 \hspace{1cm} x_2=-5\)
5. \( x_1=2 \hspace{1cm} x_2=-22\)
6. \( x_1=-1 \hspace{1cm} x_2=6\)

Übung 3: Ein bisschen was zum Knobeln

Tipp: manchmal musst du die Gleichung zunächst umstellen, bevor du lösen kannst.

1. \( x_1=5 \hspace{1cm} x_2=-1\)
2. keine Lösung
3. \( x_1=-1 \hspace{1cm} x_2=-7\)
4. keine Lösung
5. \( x_1=3 \hspace{1cm} x_2=2\)
6. \( x_1=0,5 \hspace{1cm} x_2=0,25\)