Schritt für Schritt erklärt
Die pq-Formel
Lisa von onmathe •
Dez. 20, 2023
Du erlernst das Lösen quadratischer Gleichungen mithilfe der pq-Formel anhand einfacher Beispiele. Außerdem bekommst du Übungsaufgaben um das Gelernte zu vertiefen.
\[x_{1,2}=-\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2}\right)^2-\textcolor{orange}{q}}\]
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Das erwartet dich
Unser Inhaltsverzeichnis
1. Beispiel
Beispiel
\[ f(x)=x^2 + \textcolor{orangered}{p}x + \textcolor{orange}{q} \]
Und weil das so ist, können wir aus der Beispielgleichung ganz bequem \(\textcolor{orangered}{p}\) und \(\textcolor{orange}{q}\) herauslesen.
\[
\begin{array}{ccc}
& x^2 & + \textcolor{orangered}{p}x & + \textcolor{orange}{q} \\
& \downarrow & \downarrow & \downarrow \\
& x^2 & +\textcolor{orangered}{9}x & + \textcolor{orange}{8} & =0 \\
& & \downarrow & \downarrow \\
& & \textcolor{orangered}{p=9} & \textcolor{orange}{q=8}
\end{array}
\]
Jetzt machen wir mit der pq-Formel weiter:
\[x_{1,2}=-\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2}\right)^2-\textcolor{orange}{q}}\]
Siehst du das \(\textcolor{orangered}{p}\) und das \(\textcolor{orange}{q}\) in der Formel? An diese Stellen setzen wir unsere Werte aus der quadratischen Gleichung ein.
\[
\begin{array}{ccc}
& x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{q}\end{array}} \end{array} \\
& & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\
& & \textcolor{orangered}{p=9} & \begin{array}{cc} & & \textcolor{orangered}{p=9} & \textcolor{orange}{q=8} \end{array} \\
& & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\
& x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{9}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{9}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{8}\end{array}} \end{array} \\
\end{array}
\]
Nachem wir \(\textcolor{orangered}{p}\) und \(\textcolor{orange}{q}\) eingesetzt haben können wir die Lösung berechnen:
\[
\begin{array}{ccc}
& x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{9}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{9}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{8}\end{array}} \end{array} \\
& & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\
& x_{1,2}= & -4,5 & \pm \underbrace{ \sqrt{ 20,25 - \textcolor{orange}{8}} } \\
& \\
& x_{1,2}= & -4,5 & \pm \sqrt{ 12,25 } \\
& \\
& x_{1,2}= & -4,5 & \textcolor{green}{\pm} 3,5 \\
\end{array}
\]
Das \(\textcolor{green}{\pm}\) in der Gleichung sagt, dass du
einmal \(\textcolor{green}{+}\) und einmal \(\textcolor{green}{-}\) rechnen musst, um \(x_1\) und \(x_2\) zu bestimmen.
\[
\begin{array}{cc}
x_1= -4,5 \textcolor{green}{+} 3,5 && x_2= -4,5 \textcolor{green}{-} 3,5 \\
\end{array}
\]
\(x_1= -1 \hspace{1cm} x_2= -8 \)
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2. Beispiel
Beispiel
\[
\begin{array}{ccc}
& x^2 & + \textcolor{orangered}{p}x & + \textcolor{orange}{q} \\
& \downarrow & \downarrow & \downarrow \\
& x^2 & \textcolor{orangered}{-2}x & \textcolor{orange}{-8} & =0\\
& & \downarrow & \downarrow \\
& & \textcolor{orangered}{p=-2} & \textcolor{orange}{q=-8}
\end{array}
\]
Wichtig: die Vorzeichen vor \(\textcolor{orangered}{p}\) und \(\textcolor{orange}{q}\) musst du beim Ablesen immer mitnehmen!
Nun setzen wir die Werte wieder in die pq-Formel ein, um die Lösung zu berechnen.
\[
\begin{array}{ccc}
& x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{q}\end{array}} \end{array} \\
& & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\
& & \textcolor{orangered}{p=-2} & \begin{array}{cc} & & \textcolor{orangered}{p=-2} & \textcolor{orange}{q=-8} \end{array} \\
& & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\
& x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{(-2)}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{(-2)}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{(-8)}\end{array}} \end{array} \\
\end{array}
\]
Hier musst du besonders darauf achten alle negativen Zahlen in Klammern zu setzen.
\[
\begin{array}{ccc}
& x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{(-2)}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{(-2)}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{(-8)}\end{array}} \end{array} \\
& & \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\
& x_{1,2}= & 1 & \pm \underbrace{ \sqrt{ 1 + \textcolor{orange}{8}} } \\
& \\
& x_{1,2}= & 1 & \pm \sqrt{ 9 } \\
& \\
& x_{1,2}= & 1 & \pm 3 \\
\end{array}
\]
Jetzt wieder einmal \(\textcolor{green}{+}\) und einmal \(\textcolor{green}{-}\) rechnen um \(x_1\) und \(x_2\) zu bestimmen.
\[
\begin{array}{cc}
x_1= 1 \textcolor{green}{+} 3 &&& x_2= 1 \textcolor{green}{-} 3 \\
\end{array}
\]
\(x_1= 4 \hspace{1cm} x_2= -2\)
3. Beispiel
Beispiel
\[
\begin{array}{cccc}
\textcolor{midnightblue}{4}x^2 & +80x & -176 & =0 & \hspace{3mm} |:\textcolor{midnightblue}{4} \\
\\
\downarrow :4 & \downarrow :4 & \downarrow :4 & \downarrow :4\\
\\
x^2 & +20x & -44 & =0
\end{array}
\]
Es ist ganz wichtig, dass du jeden einzelnen Summanden durch 4 dividierst. Die Pfeile unter jedem Summanden in der Rechnung verdeutlichen das.
Nun ist die Gleichung in der Normalform und du kannst \(\textcolor{orangered}{p}\) und \(\textcolor{orange}{q}\) ablesen.
\[
\begin{array}{ccc}
x^2 & \textcolor{orangered}{+20}x & \textcolor{orange}{-44} & =0 \\
& \downarrow & \downarrow & \\
& \textcolor{orangered}{p=20} & \textcolor{orange}{q=-44}
\end{array}
\]
An dieser Stelle setzen wir wieder in die pq-Formel ein um die Lösung der Gleichung zu berechnen. Denk dabei an alle Klammern und daran, dass du am Ende \(+\) und \(-\) getrennt betrachtest.
\[
\begin{array}{ccc}
x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{p}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{q}\end{array}} \end{array} \\
& \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\
& \textcolor{orangered}{p=20} & \begin{array}{cc} & & \textcolor{orangered}{p=20} & \textcolor{orange}{q=-44} \end{array} \\
& \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\
x_{1,2}= & -\frac{\textcolor{orangered}{20}}{2} & \pm \begin{array}{cc} \sqrt{ \begin{array}{cc} \left(\frac{\textcolor{orangered}{20}}{2}\right)^2 & - \textcolor{orange}{(-44)}\end{array}} \end{array} \\
& \downarrow & \begin{array}{cc} & & \downarrow & & \downarrow \end{array} \\
x_{1,2}= & -10 & \pm \underbrace{ \sqrt{ 100 + \textcolor{orange}{44}} } \\
& \\
x_{1,2}= & -10 & \pm \sqrt{ 144 } \\
& \\
x_{1,2}= & -10 & \pm 12 \\
\\
x_1= -10 \textcolor{green}{+} 12 && x_2= -10 \textcolor{green}{-} 12 \\
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{cc}
x_1= -10 \textcolor{green}{+} 12 &&& x_2= -10 \textcolor{green}{-} 12 \\
\end{array}
\]
\(x_1= 2 \hspace{1cm} x_2= -22\)
Merke
- \(\textcolor{orangered}{p}\) und \(\textcolor{orange}{q}\) müssen an der Normalform abgelesen werden.
- Steht vor dem \(x^2\) ein Faktor musst du zunächst die ganze Gleichung durch diesen Faktor dividieren
- Achte beim Einsetzen darauf, dass du alle negativen Zahlen in Klammern gesetzt hast.
- Vergiss nicht die Klammer beim Ausdruck \(\left(\frac{p}{2}\right)^2\)
- Auch beim Tippen in den Taschenrechner sind die Klammern sehr wichtig.
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Besonderheiten in der Rechnung
Hier zeigen wir dir noch 2 Besonderheiten, die beim Rechnen mit der pq-Formel auftreten können. Da du dazu inzwischen schon einiges weißt, werden wir es ein wenig kürzer halten.1. Besonderheit
\[x=6\]
2. Besonderheit
\[\text{keine Lösung}\]
Aufgaben
Übung 1: Bestimme die Lösungsmenge mit Hilfe der pq-Formel
| 1. \( x^2+6x+5 = 0\) | 2. \( x^2-14x-32=0 \) |
| 3. \( x^2+8x-20=0 \) | 4. \( x^2-10x+25=0 \) |
| 5. \( x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=0\) | 6. \( x^2-2,4x+1,44=0 \) |
Übung 2: Nutze die pq-Formel um die Gleichung zu lösen
Tipp: Achte auf den Faktor vor dem \(x^2\).
| 1. \( 3x^2+30x+75=0\) |
| 2. \( -12x^2+96x+240=0 \) |
| 3. \( 1,5x^2+12x+10,5=0 \) |
| 4. \( 2x^2+40x-88=0 \) |
| 5. \( 5x^2-25x-120=0 \) |
| 6. \( -1,2x^2+6x+7,2=0 \) |
Übung 3: Ein bisschen was zum Knobeln
Tipp: manchmal musst du die Gleichung zunächst umstellen, bevor du lösen kannst.
| 1. \( 2x^2-8x=10 \) |
| 2. \( 5x^2-5x=-30 \) |
| 3. \( 6x^2=-48x-42 \) |
| 4. \( x^2+10=5x \) |
| 5. \( 5x^2-25x+12=-18 \) |
| 6. \( 8x^2-6x+8=7 \) |
Aufgaben
Übung 1: Bestimme die Lösungsmenge mit Hilfe der pq-Formel
| 1. \( x_1=-1 \hspace{1cm} x_2=-5\) | 2. \( x_1=16 \hspace{1cm} x_2=-2\) |
| 3. \( x_1=2 \hspace{1cm} x_2=-10\) | 4. \( x=5\) |
| 5. keine Lösung | 6. \( x_1=1 \hspace{1cm} x_2=2\) |
Übung 2: Nutze die pq-Formel um die Gleichung zu lösen
Tipp: Achte auf den Faktor vor dem \(x^2\).
| 1. \( x_1=-5 \) |
| 2. \( x_1=-2 \hspace{1cm} x_2=10\) |
| 3. \( x_1=-1 \hspace{1cm} x_2=-7\) |
| 4. \( x_1=-1 \hspace{1cm} x_2=-5\) |
| 5. \( x_1=2 \hspace{1cm} x_2=-22\) |
| 6. \( x_1=-1 \hspace{1cm} x_2=6\) |
Übung 3: Ein bisschen was zum Knobeln
Tipp: manchmal musst du die Gleichung zunächst umstellen, bevor du lösen kannst.
| 1. \( x_1=5 \hspace{1cm} x_2=-1\) |
| 2. keine Lösung |
| 3. \( x_1=-1 \hspace{1cm} x_2=-7\) |
| 4. keine Lösung |
| 5. \( x_1=3 \hspace{1cm} x_2=2\) |
| 6. \( x_1=0,5 \hspace{1cm} x_2=0,25\) |
Weiterführende Informationen zur pq-Formel
Die pq-Formel – Dein Werkzeug für quadratische Gleichungen
Die pq-Formel ist eine Methode, um Nullstellen quadratischer Gleichungen schnell und einfach zu bestimmen. Quadratische Gleichungen tauchen in vielen Bereichen auf, sei es in der Mathematik, der Physik oder in alltäglichen Anwendungen wie der Berechnung von Wurfparabeln. Mit der pq-Formel kannst du solche Aufgaben effizient lösen, ohne dich in komplizierte Umformungen zu verlieren.
Was ist die pq-Formel?
Die pq-Formel hilft dir, Nullstellen einer speziellen Form quadratischer Gleichungen zu berechnen. Eine quadratische Gleichung besteht aus einem Term mit der Variablen im Quadrat, einem weiteren mit der Variablen selbst und einem konstanten Wert. Wenn die Gleichung richtig umgeformt ist, liefert die pq-Formel die Werte, bei denen die Funktion ihren Wert null annimmt.
Warum ist die pq-Formel nützlich?
Die pq-Formel ist besonders praktisch, weil sie leicht anzuwenden und gut zu merken ist. Anstatt eine aufwändige allgemeine Lösung zu nutzen, kannst du schnell die gegebenen Werte einsetzen und erhältst das Ergebnis.
Praktische Anwendungen der pq-Formel:
- Geometrie: Schnittpunkte von Parabeln mit einer Achse berechnen.
- Physik: Zeitpunkte ermitteln, bei denen ein geworfener Gegenstand den Boden erreicht.
- Wirtschaft: Optimierung von quadratischen Gewinn- oder Kostenfunktionen.
Häufige Fehler vermeiden
- Gleichung nicht richtig umstellen: Vor der Anwendung der pq-Formel muss die Gleichung immer korrekt vorbereitet werden.
- Vorzeichen übersehen: Das richtige Übernehmen von Vorzeichen ist entscheidend für die richtige Lösung.
- Die Diskriminante ignorieren: Wenn eine Gleichung keine reellen Nullstellen hat, ist dies an der Diskriminante zu erkennen.
Tipps für die Anwendung der pq-Formel
- Achte darauf, dass die Gleichung immer in der richtigen Form vorliegt.
- Prüfe, ob es überhaupt Lösungen gibt, indem du die Struktur der Gleichung analysierst.
- Übe regelmäßig, um die Methode sicher und fehlerfrei anzuwenden.
Die pq-Formel in der Praxis
Ob in der Schule oder bei komplexeren Aufgaben – die pq-Formel bleibt ein unverzichtbares Werkzeug der Mathematik. Sie spart Zeit und bietet eine klare Vorgehensweise, um quadratische Probleme effizient zu lösen.
Alle Fragen auf einen Blick - unser FAQ
Damit keine Frage mehr offen bleibt
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