Wie geht Ableiten?
Die Quotientenregel

Wir zeigen dir, wie du die Quotientenregel anwendest und on Top bekommst du noch Übungsaufgaben, um alles zu festigen.
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Erste Funktion abgeleitet mal zweite Funktion hingeschrieben minus erste Funktion hingeschrieben mal zweite Funktion abgeleitet geteilt durch zweite Funktion ins Quadrat .
Das erwartet dich
Unser Inhaltsverzeichnis
- Ableiten mit der Quotientenregel
- Quotientenregel oder nicht?
- Umformen lohnt sich
- Beispiel und Zusammenfassung
- Aufgaben
- Lösung
- Die Quotientenregel – ein Werkzeug für die Ableitung von Brüchen
- Was ist die Quotientenregel?
- Praktische Anwendungen der Quotientenregel
- Häufige Fehler vermeiden
- Tipps zur besseren Anwendung der Quotientenregel
- Die Bedeutung der Quotientenregel
Ableiten mit der Quotientenregel

Quotientenregel oder nicht?
Nicht immer, wenn du einen Bruch siehst, ist es nötig, die Quotientenregel anzuwenden. Manchmal ist es ganz einfach, die Funktion ein wenig umzustellen. Wir schauen uns zwei Beispiele an, die das verdeutlichen.Die Quotientenregel nutzt du immer dann, wenn zwei Funktionen den Zähler und den Nenner des Bruchs bilden.
Umformen lohnt sich
Wir haben festgehalten, dass du die Quotientenregel immer dann anwenden musst, wenn eine Funktion aus einem Quotient zweier Funktionen besteht. Doch wie so oft gibt es auch hier Ausnahmen und die wollen wir nun betrachten.
Beispiel und Zusammenfassung
Als nächstes betrachten wir Zähler und Nenner getrennt und werden beide für sich ableiten.
- Überprüfen ob es sich um einen Quotienten aus zwei Funktionen handelt.
- Die beiden Funktionen \(\textcolor{orangered}{u(x)}\) und \(\textcolor{green}{v(x)}\) identifizieren
- \(\textcolor{orangered}{u(x)}\) und \(\textcolor{green}{v(x)}\) getrennt voneinander ableiten.
- Die Quotientenregel aufschreiben und alles einsetzen
- Gegebenenfalls zusammenfassen.
Aufgaben
Übung 1
1. \( f(x) = \dfrac{3-x}{x-4} \) |
2. \( g(x) = \dfrac{3}{2x-5} \) |
4. \( h(x) = \dfrac{4x}{x^2+1} \) |
Übung 2
1. \( f(x) = \dfrac{x^2+2x}{x^2-4} \) |
2. \( g(x) = \dfrac{(x-2)^2}{x^2+x-6} \) |
3. \( h(x) = \dfrac{sin(x)}{x} \) |
Übung 3
1. \( f(x) = \dfrac{x^2}{cos(x)} \) |
2. \( g(x) = \dfrac{x^5+x}{x^3} \) |
3. \( h(x) = \dfrac{x+1}{x^2-1} \) |
Lösungen
Lösung 1
1. \( f'(x) = \dfrac{1}{(x-4)^2} \) |
2. \( g'(x) = \dfrac{6}{(2x-5)^2} \) |
4. \( h'(x) = \dfrac{4(x^2-1)}{(x^2+1)^2}\) |
Lösung 2
1. \( f'(x) = -\dfrac{2}{(x-2)^2} \) |
2. \( g'(x) = \dfrac{5}{(x+3)^2} \) |
3. \( h'(x) = \dfrac{x\cos(x)-sin(x)}{x^2} \) |
Lösung 3
1. \( f'(x) = \dfrac{x(x\sin(x)+2\cos(x))}{\cos(x)^2} \) |
2. \( g'(x) = 2x-\dfrac{2}{x^3} \) |
3. \( h'(x) = -\dfrac{1}{(x-1)^2} \) |
Weiterführende Informationen zur Quotientenregel
Die Quotientenregel – ein Werkzeug für die Ableitung von Brüchen
Die Quotientenregel ist ein fundamentales Prinzip der Differentialrechnung. Sie ermöglicht es dir, die Ableitung einer Funktion zu berechnen, die als Bruch zweier anderer Funktionen dargestellt wird. Dieses Konzept ist nicht nur ein zentraler Bestandteil der Mathematik, sondern auch ein unverzichtbares Werkzeug in Bereichen wie Physik, Wirtschaft und Technik.
Was ist die Quotientenregel?
Die Quotientenregel kommt dann zur Anwendung, wenn eine Funktion als Verhältnis von zwei anderen Funktionen beschrieben wird. Beispielsweise könnte eine Funktion aus einem Zähler (oben im Bruch) und einem Nenner (unten im Bruch) bestehen. Mit der Quotientenregel kannst du die Änderungsrate dieser zusammengesetzten Funktion bestimmen.
Ein Beispiel: Du möchtest die Ableitung der Funktion berechnen, die durch eine Division wie f(x)/g(x) dargestellt wird. Die Quotientenregel zeigt dir, wie die Ableitungen des Zählers und des Nenners kombiniert werden, um das Ergebnis zu erhalten.
Praktische Anwendungen der Quotientenregel
- In der Physik: Sie wird genutzt, um Verhältnisse wie Geschwindigkeit oder Beschleunigung zu analysieren.
- In der Wirtschaft: Verhältnisse wie Gewinn- oder Kostenanalysen werden oft mit Hilfe der Quotientenregel untersucht.
- In der Technik: Sie kommt bei Berechnungen von Effizienz oder Optimierungen zum Einsatz.
Häufige Fehler vermeiden
- Verwechslung von Zähler und Nenner: Es ist wichtig, die korrekten Funktionen den richtigen Positionen im Bruch zuzuordnen.
- Nullstellen im Nenner: Achte darauf, dass der Nenner der Funktion niemals null wird, da dies die Berechnung unmöglich macht.
- Reihenfolge der Ableitungen: Die Quotientenregel hat eine klare Struktur, die unbedingt eingehalten werden muss.
Tipps zur besseren Anwendung der Quotientenregel
- Schreibe die einzelnen Schritte der Berechnung immer klar und übersichtlich auf.
- Verstehe zuerst die Produktregel, da diese eng mit der Quotientenregel verwandt ist.
- Übe mit einfachen Beispielen und steigere die Komplexität allmählich.
Die Bedeutung der Quotientenregel
Die Quotientenregel ermöglicht es, selbst komplizierte Funktionen, die als Bruch dargestellt werden, präzise zu analysieren. Ihre universelle Anwendbarkeit macht sie zu einem der wichtigsten Werkzeuge in der Mathematik.
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