Schritt für Schritt erklärt
Ableiten: Faktor- und Summenregel
- Potenzregel: \(f(x)=x^n \hspace{0.2cm} → \hspace{0.2cm} f'(x)=n \cdot x^{n-1} \)
- Faktorregel: \( f(x)=a \cdot u(x) \hspace{0.2cm} → \hspace{0.2cm} f'(x)=a \cdot u'(x) \)
- Summenregel: \( f(x)=u(x)+v(x) \hspace{0.2cm}\) → \(\hspace{0.2cm} f'(x)=u'(x)+v'(x) \)
Das erwartet dich
Unser Inhaltsverzeichnis
- Die Potenzregel
- Die Faktorregel
- Die Summenregel
- Ein Beispiel - alle Regeln
- Zusammenfassung
- Wichtige Ableitungen
- Aufgaben
- Lösungen
- Die Faktor- und Summenregel als Basiswerkzeuge der Differentialrechnung
- Was ist die Faktorregel?
- Was ist die Summenregel?
- So wendest du die Regeln an
- Häufige Fehler vermeiden
- Die Bedeutung der Regeln in der Praxis
Die Potenzregel
Solche Potenzfunktionen können wir in zwei einfachen Schritten ableiten:
Die Faktorregel
- Der Faktor wird unverändert mitgenommen
- Der Exponent wird nach vorne gezogen und mit dem Faktor multiplizert
- Im Exponenten wird -1 gerechnet
Die Summenregel
Die Rechenzeichen dazwischen nehmen wir einfach mit :
Ein Beispiel - alle Regeln
Und was ist der Faktor vor dem -x?
Wir fassen nochmal zusammen:
- Der Faktor wird unverändert mitgenommen
- Der Exponent wird nach vorne gezogen und mit dem Faktor multipliziert
- Im Exponenten wird -1 gerechnet
- Wir leiten Summand für Summand ab
- Ein einfaches x im Summanden wird herausgestrichen
- Das Absolutglied fällt weg
Zusammenfassung
Du hast jetzt in 4 Beispielen die ersten Ableitungsregeln gelernt:- Potenzregel → Exponent nach vorne ziehen und -1 rechnen
- Faktorregel → Faktoren werden unverändert mitgenommen
- Summenregel → Jeder Summand wird einzeln abgeleitet
- Absolutglieder → fallen beim Ableiten weg
Wichtige Ableitungen
Aufgaben
Übung 1: Ableitung nach \( x \)
| 1. \( f(x) = 3x \) | 2. \( g(x) = 2x^2 \) |
| 3. \( h(x) = 4x^3 \) | 4. \( i(x) = 5x^4 \) |
| 5. \( j(x) = 2\sqrt{x} \) | 6. \( k(x) = \frac{1}{x} \) |
Übung 2: Faktorregel und Summenregel
| 1. \( l(x)=4x+5 \) |
| 2. \( m(x)=3x^2+2x \) |
| 3. \( o(x)=(3x+2)(2x-1) \) |
| 4. \( p(x)=2x^2+3x+1 \) |
| 5. \( n(x)=2x^3+x^2+4x+1 \) |
| 6. \( q(x)=5x^3-2x^2+3x+1 \) |
Übung 3: Mehrere Terme und Faktoren
Tipp: manchmal musst du zunächst ausmultiplizeren und zusammenfassen.
| 1. \( r(x) = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 1 \) |
| 2. \( s(x) = (x + 1)(2x - 3) \) |
| 3. \( t(x) = x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 5x + 1 \) |
| 4. \( u(x) = (4x^2 + 1)(3x - 2) \) |
| 5. \( v(x) = 2x^3 + 5x^2 - x + 1 \) |
| 6. \( w(x) = x(x^2 + 2x + 1) \) |
Lösungen
Lösung 1: Ableitung nach \( x \)
| 1. \( f'(x) = 3 \) | 2. \( g'(x) = 4x \) |
| 3. \( h'(x) = 12x^2 \) | 4. \( i'(x) = 20x^3 \) |
| 5. \( j'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) | 6. \( k'(x) = -\frac{1}{x^2} \) |
Lösung 2: Faktorregel und Summenregel
| 1. \( l'(x) = 4 \) |
| 2.\( m'(x) = 6x + 2 \) |
| 3. \( o'(x) = 6x + 2 \) |
| 4. \( p'(x) = 4x + 3 \) |
| 5. \( n'(x) = 6x^2 + 2x + 4 \) |
| 6. \( q'(x) = 15x^2 - 4x + 3 \) |
Lösung 3: Mehrere Terme und Faktoren
| 1. \( r'(x) = 6x^2 + 6x + 4 \) |
| 2. \( s'(x) = 2x^2 - 3x + 2 \) |
| 3. \( t'(x) = 4x^3 + 9x^2 + 4x + 5 \) |
| 4. \( u'(x) = 12x^3 + 9x^2 - 8x - 4 \) |
| 5. \( v'(x) = 6x^2 + 10x - 1 \) |
| 6. \( w'(x) = 3x^2 + 4x + 2 \) |
Weiterführende Informationen zur Ableitung: Faktor- und Summenregel
Die Faktor- und Summenregel als Basiswerkzeuge der Differentialrechnung
Die Faktor- und Summenregel gehören zu den grundlegendsten Ableitungsregeln in der Mathematik. Sie ermöglichen es, auch komplizierte Funktionen schnell und präzise abzuleiten. Diese beiden Regeln sind besonders nützlich, weil sie in fast jeder Ableitungsaufgabe verwendet werden können. Ob du mit einem konstanten Faktor oder einer Summe aus mehreren Termen arbeitest – die Faktor- und Summenregel machen die Ableitung zum Kinderspiel.
Was ist die Faktorregel?
Die Faktorregel besagt, dass der Faktor einer Funktion unverändert bleibt, wenn die Funktion abgeleitet wird. Das bedeutet, dass du einen konstanten Faktor einfach "herausziehen" kannst, bevor du die Ableitung des übrigen Teils berechnest. Zum Beispiel kannst du, wenn eine Funktion mit einer Zahl multipliziert ist, diese Zahl beiseitelegen und dich auf die Ableitung der Funktion selbst konzentrieren.
Was ist die Summenregel?
Die Summenregel erlaubt es, die Ableitung einer Summe von Funktionen als Summe der einzelnen Ableitungen zu berechnen. Das heißt, wenn du mehrere Funktionen addierst oder subtrahierst, kannst du jede Funktion einzeln ableiten und die Ergebnisse zusammenfügen. Diese Regel macht es besonders einfach, Funktionen mit mehreren Termen zu bearbeiten.
So wendest du die Regeln an
- Bei der Faktorregel: Ziehe den konstanten Faktor vor die Ableitung und leite dann die Funktion selbst ab.
- Bei der Summenregel: Zerlege die Summe in einzelne Terme und leite jeden für sich ab. Addiere am Ende die Ergebnisse.
Häufige Fehler vermeiden
Ein typischer Fehler bei der Faktorregel ist, dass der konstante Faktor manchmal "vergessen" wird. Bei der Summenregel wird häufig übersehen, dass jede Funktion einzeln abgeleitet werden muss, bevor die Ergebnisse zusammengefügt werden. Genauigkeit und eine klare Struktur helfen dir, diese Fehler zu vermeiden.
Die Bedeutung der Regeln in der Praxis
Die Faktor- und Summenregel sind nicht nur in der Mathematik von Bedeutung. Sie finden Anwendungen in vielen Bereichen, wie der Physik, wo sie verwendet werden, um Bewegungsgleichungen zu analysieren, oder in der Wirtschaft, um Änderungen in zusammengesetzten Funktionen zu berechnen. Diese Regeln bilden die Grundlage für komplexere Methoden der Differentialrechnung.
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