Schritt für Schritt erklärt
Ableiten: Faktor- und Summenregel
Lisa von onmathe •
Dez. 08, 2023
Entdecke jetzt, wie leicht Ableiten sein kann! In diesem Lernabschnitt führen wir dich durch einfache Beispiele und geben dir passende Übungsaufgaben an die Hand.
Merke
- Potenzregel: \(f(x)=x^n \hspace{0.2cm} → \hspace{0.2cm} f'(x)=n \cdot x^{n-1} \)
- Faktorregel: \( f(x)=a \cdot u(x) \hspace{0.2cm} → \hspace{0.2cm} f'(x)=a \cdot u'(x) \)
- Summenregel: \( f(x)=u(x)+v(x) \hspace{0.2cm}\) → \(\hspace{0.2cm} f'(x)=u'(x)+v'(x) \)
Das erwartet dich
Unser Inhaltsverzeichnis
Die Potenzregel
Beispiel
Solche Potenzfunktionen können wir in zwei einfachen Schritten ableiten:
1. Schritt → Ziehe die 2 im Exponenten von \(x^{\textcolor{orangered}{2}}\) nach vorne
\[x^{\textcolor{orangered}{2}} \xrightarrow[\textsf{vorne kopieren}]{\textsf{Exponent nach}} \textcolor{orangered}{2}x^{\textcolor{orangered}{\large{?}}}\]
2. Schritt → Rechne im Exponenten -1
\[\textcolor{orangered}{2}x^{\textcolor{orangered}{\large{?}}} \xrightarrow[\textsf{-1 rechnen}]{\textsf{im Exponenten}} \textcolor{orangered}{2}x^{\textcolor{orangered}{2}-{\textcolor{green}{1}}}\]
\[f'(x)={\large{\textcolor{orangered}{2}}}x^{\textcolor{orangered}{2}-{\textcolor{green}{1}}}\]
\[f'(x)=2x^1\]
Geschafft! Deine erste Ableitung – in nur zwei simplen Schritten: Exponent nach vorne ziehen und im Exponenten -1 rechnen. Das ist die Potenzregel.
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Die Faktorregel
Beispiel
- Der Faktor wird unverändert mitgenommen
- Der Exponent wird nach vorne gezogen und mit dem Faktor multiplizert
- Im Exponenten wird -1 gerechnet
\(f'(x)=\textcolor{orange}{3}\cdot\textcolor{orangered}{4}x^{\textcolor{orangered}{4}{-1}}\)
Jetzt noch zusammenfassen und die Ableitung ist komplett.
\(f'(x)=12x^3\)
Gerade hast du die Faktorregel gelernt → Faktoren werden beim Ableiten unverändert mitgenommen.
Die Summenregel
Beispiel
\(f(x) = \underbrace{\textcolor{orange}{2}x^{\textcolor{orangered}{3}}}_{\textsf{1. Summand}} - \underbrace{\textcolor{orange}{4}x^{\textcolor{orangered}{2}}}_{\textsf{2. Summand}} + \underbrace{\textcolor{orange}{5}x}_{\textsf{3. Summand}}\)
Um diese Summe abzuleiten gehen wir schrittweise von einem Summanden zum nächsten und leiten jede geschweifte Klammer einzeln ab. Die Rechenzeichen dazwischen nehmen wir einfach mit :
\(
\begin{array}{cccc}
f(x)= & \textcolor{orange}{2}x^{\textcolor{orangered}{3}} & -\textcolor{orange}{4}x^{\textcolor{orangered}{2}} & +\textcolor{orange}{5}x \\
& \downarrow & \downarrow & \downarrow \\
f'(x)= & \textcolor{orange}{2} \cdot \textcolor{orangered}{3}x^{\textcolor{orangered}{3}\textcolor{green}{-1}} & -\textcolor{orange}{4} \cdot \textcolor{orangered}{2}x^{\textcolor{orangered}{2}\textcolor{green}{-1}} & +\textcolor{orange}{5}
\end{array}
\)
...?... → Steht ein einfaches x im Summanden, darfst du es weglassen und aus der Ableitung herausstreichen.
\(f'(x)={\textcolor{orange}{2}}\cdot{\textcolor{orangered}{3}}x^{\textcolor{orangered}{3}\textcolor{green}{-1}}-{\textcolor{orange}{4}}*{\textcolor{orangered}{2}}x^{\textcolor{orangered}{2}\textcolor{green}{-1}}+ {\textcolor{orange}{5}}\)
Zusammengefasst ergibt sich die fertige Ableitung :
\(f'(x)=6x^2-8x+5\)
Das ist die Summenregel → Besteht eine Funktion aus mehreren Summanden leitest du Summand für Summand einzeln und nacheinander ab.
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Ein Beispiel - alle Regeln
Beispiel
Und was ist der Faktor vor dem -x?
\[f(x)=\textcolor{orange}{\frac{1}{3}}x^3+\textcolor{orange}{4}x^2-{\textcolor{orange}{1}}x+\textcolor{midnightblue}{5}\]
Der Faktor ist 1. Sie wird beim Schreiben von Funktionsgleichungen gerne weggelassen . Wir fassen nochmal zusammen:
- Der Faktor wird unverändert mitgenommen
- Der Exponent wird nach vorne gezogen und mit dem Faktor multipliziert
- Im Exponenten wird -1 gerechnet
- Wir leiten Summand für Summand ab
- Ein einfaches x im Summanden wird herausgestrichen
- Das Absolutglied fällt weg
\(
\begin{array}{ccccc}
f(x)= & \textcolor{orange}{\frac{1}{3}}x^3 & +\textcolor{orange}{4}x^2 & -\textcolor{orange}{1}x & +\textcolor{green}{5} \\
& \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\
f'(x)= & \textcolor{orange}{\frac{1}{3}}\cdot{\textcolor{orangered}{3}}x^{\textcolor{orangered}{3}-1} & +\textcolor{orange}{4}\cdot{\textcolor{orangered}{2}}x^{\textcolor{orangered}{2}-1} & -\textcolor{orange}{1}
\end{array}
\)
Wenn wir zusammengefasst haben bleibt:
\(f'(x)=x^2+8x-1\)
Zusammenfassung
Du hast jetzt in 4 Beispielen die ersten Ableitungsregeln gelernt:- Potenzregel → Exponent nach vorne ziehen und -1 rechnen
- Faktorregel → Faktoren werden unverändert mitgenommen
- Summenregel → Jeder Summand wird einzeln abgeleitet
- Absolutglieder → fallen beim Ableiten weg
Wichtige Ableitungen
\(f(x) = \sqrt{x}\)
\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( f(x)=sin(x) \)
\(f'(x) = \cos(x) \)
\(f(x) = cos(x)\)
\(f'(x) = -sin(x) \)
\(f(x) = ln(x)\)
\(f'(x) = \dfrac{1}{x} \)
\(f(x) = e^x\)
\(f'(x) = e^x \)
Aufgaben
Übung 1: Ableitung nach \( x \)
| 1. \( f(x) = 3x \) | 2. \( g(x) = 2x^2 \) |
| 3. \( h(x) = 4x^3 \) | 4. \( i(x) = 5x^4 \) |
| 5. \( j(x) = 2\sqrt{x} \) | 6. \( k(x) = \frac{1}{x} \) |
Übung 2: Faktorregel und Summenregel
| 1. \( l(x)=4x+5 \) |
| 2. \( m(x)=3x^2+2x \) |
| 3. \( o(x)=(3x+2)(2x-1) \) |
| 4. \( p(x)=2x^2+3x+1 \) |
| 5. \( n(x)=2x^3+x^2+4x+1 \) |
| 6. \( q(x)=5x^3-2x^2+3x+1 \) |
Übung 3: Mehrere Terme und Faktoren
Tipp: manchmal musst du zunächst ausmultiplizeren und zusammenfassen.
| 1. \( r(x) = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 1 \) |
| 2. \( s(x) = (x + 1)(2x - 3) \) |
| 3. \( t(x) = x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 5x + 1 \) |
| 4. \( u(x) = (4x^2 + 1)(3x - 2) \) |
| 5. \( v(x) = 2x^3 + 5x^2 - x + 1 \) |
| 6. \( w(x) = x(x^2 + 2x + 1) \) |
Lösungen
Lösung 1: Ableitung nach \( x \)
| 1. \( f'(x) = 3 \) | 2. \( g'(x) = 4x \) |
| 3. \( h'(x) = 12x^2 \) | 4. \( i'(x) = 20x^3 \) |
| 5. \( j'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) | 6. \( k'(x) = -\frac{1}{x^2} \) |
Lösung 2: Faktorregel und Summenregel
| 1. \( l'(x) = 4 \) |
| 2.\( m'(x) = 6x + 2 \) |
| 3. \( o'(x) = 6x + 2 \) |
| 4. \( p'(x) = 4x + 3 \) |
| 5. \( n'(x) = 6x^2 + 2x + 4 \) |
| 6. \( q'(x) = 15x^2 - 4x + 3 \) |
Lösung 3: Mehrere Terme und Faktoren
| 1. \( r'(x) = 6x^2 + 6x + 4 \) |
| 2. \( s'(x) = 2x^2 - 3x + 2 \) |
| 3. \( t'(x) = 4x^3 + 9x^2 + 4x + 5 \) |
| 4. \( u'(x) = 12x^3 + 9x^2 - 8x - 4 \) |
| 5. \( v'(x) = 6x^2 + 10x - 1 \) |
| 6. \( w'(x) = 3x^2 + 4x + 2 \) |
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