Ableiten: Faktor- und Summenregel + 3 einfache Beispiele

Schritt für Schritt erklärt

Ableiten: Faktor- und Summenregel

Lisa von onmathe • Dez. 08, 2023
Ableiten: Faktor- und Summenregel

Entdecke jetzt, wie leicht Ableiten sein kann! In diesem Lernabschnitt führen wir dich durch einfache Beispiele und geben dir passende Übungsaufgaben an die Hand.
Merke
  1. Potenzregel: \(f(x)=x^n \hspace{0.2cm} → \hspace{0.2cm} f'(x)=n \cdot x^{n-1} \)
  2. Faktorregel: \( f(x)=a \cdot u(x) \hspace{0.2cm} → \hspace{0.2cm} f'(x)=a \cdot u'(x) \)
  3. Summenregel: \( f(x)=u(x)+v(x) \hspace{0.2cm}\) → \(\hspace{0.2cm} f'(x)=u'(x)+v'(x) \)

Die Potenzregel

Beispiel
\(f(x)=x^\textcolor{orangered}{2}\)
Kennt jeder, oder? Das ist eine Potenzfunktion mit einer 2 im Exponenten. Du kennst es vielleicht auch unter dem Begriff Hochzahl.
Solche Potenzfunktionen können wir in zwei einfachen Schritten ableiten:
1. Schritt → Ziehe die 2 im Exponenten von \(x^{\textcolor{orangered}{2}}\) nach vorne
\[x^{\textcolor{orangered}{2}} \xrightarrow[\textsf{vorne kopieren}]{\textsf{Exponent nach}} \textcolor{orangered}{2}x^{\textcolor{orangered}{\large{?}}}\]
2. Schritt → Rechne im Exponenten -1
\[\textcolor{orangered}{2}x^{\textcolor{orangered}{\large{?}}} \xrightarrow[\textsf{-1 rechnen}]{\textsf{im Exponenten}} \textcolor{orangered}{2}x^{\textcolor{orangered}{2}-{\textcolor{green}{1}}}\]
\[f'(x)={\large{\textcolor{orangered}{2}}}x^{\textcolor{orangered}{2}-{\textcolor{green}{1}}}\] \[f'(x)=2x^1\]
Geschafft! Deine erste Ableitung – in nur zwei simplen Schritten: Exponent nach vorne ziehen und im Exponenten -1 rechnen. Das ist die Potenzregel.

Die Faktorregel

Beispiel
\(f(x)=\textcolor{orange}{3}x^{\textcolor{orangered}{4}}\)
Die gelb markierte Zahl vor dem x ist ein Faktor. Beim Ableiten wird dieser einfach mitgenommen.
  • Der Faktor wird unverändert mitgenommen
  • Der Exponent wird nach vorne gezogen und mit dem Faktor multiplizert
  • Im Exponenten wird -1 gerechnet
Das sieht dann so aus:
\(f'(x)=\textcolor{orange}{3}\cdot\textcolor{orangered}{4}x^{\textcolor{orangered}{4}{-1}}\)
Jetzt noch zusammenfassen und die Ableitung ist komplett.
\(f'(x)=12x^3\)
Gerade hast du die Faktorregel gelernt → Faktoren werden beim Ableiten unverändert mitgenommen.

Die Summenregel

Beispiel
\(f(x)={\textcolor{orange}{2}}x^{\textcolor{orangered}{3}}-{\textcolor{orange}{4}}x^{\textcolor{orangered}{2}}+{\textcolor{orange}{5}x}\)
Die einzelnen Elemente mit x, die durch Plus oder Minus voneinander getrennt sind nennt man Summanden. Jeder ist in einer geschweiften Klammer zusammengefasst.
\(f(x) = \underbrace{\textcolor{orange}{2}x^{\textcolor{orangered}{3}}}_{\textsf{1. Summand}} - \underbrace{\textcolor{orange}{4}x^{\textcolor{orangered}{2}}}_{\textsf{2. Summand}} + \underbrace{\textcolor{orange}{5}x}_{\textsf{3. Summand}}\)
Um diese Summe abzuleiten gehen wir schrittweise von einem Summanden zum nächsten und leiten jede geschweifte Klammer einzeln ab.
Die Rechenzeichen dazwischen nehmen wir einfach mit :
\( \begin{array}{cccc} f(x)= & \textcolor{orange}{2}x^{\textcolor{orangered}{3}} & -\textcolor{orange}{4}x^{\textcolor{orangered}{2}} & +\textcolor{orange}{5}x \\ & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ f'(x)= & \textcolor{orange}{2} \cdot \textcolor{orangered}{3}x^{\textcolor{orangered}{3}\textcolor{green}{-1}} & -\textcolor{orange}{4} \cdot \textcolor{orangered}{2}x^{\textcolor{orangered}{2}\textcolor{green}{-1}} & +\textcolor{orange}{5} \end{array} \)
...?... → Steht ein einfaches x im Summanden, darfst du es weglassen und aus der Ableitung herausstreichen.
\(f'(x)={\textcolor{orange}{2}}\cdot{\textcolor{orangered}{3}}x^{\textcolor{orangered}{3}\textcolor{green}{-1}}-{\textcolor{orange}{4}}*{\textcolor{orangered}{2}}x^{\textcolor{orangered}{2}\textcolor{green}{-1}}+ {\textcolor{orange}{5}}\)
Zusammengefasst ergibt sich die fertige Ableitung :
\(f'(x)=6x^2-8x+5\)
Das ist die Summenregel → Besteht eine Funktion aus mehreren Summanden leitest du Summand für Summand einzeln und nacheinander ab.

Ein Beispiel - alle Regeln

Beispiel
\(f(x)=\textcolor{orange}{\frac{1}{3}}x^{\textcolor{orangered}{3}}+\textcolor{orange}{4}x^{\textcolor{orangered}{2}}-x+\textcolor{midnightblue}{5}\)
Die 5 am Ende der Funktionsgleichung ist das Absolutglied . Es fällt beim Ableiten immer weg.
Und was ist der Faktor vor dem -x?
\[f(x)=\textcolor{orange}{\frac{1}{3}}x^3+\textcolor{orange}{4}x^2-{\textcolor{orange}{1}}x+\textcolor{midnightblue}{5}\]
Der Faktor ist 1. Sie wird beim Schreiben von Funktionsgleichungen gerne weggelassen .
Wir fassen nochmal zusammen:
  • Der Faktor wird unverändert mitgenommen
  • Der Exponent wird nach vorne gezogen und mit dem Faktor multipliziert
  • Im Exponenten wird -1 gerechnet
  • Wir leiten Summand für Summand ab
  • Ein einfaches x im Summanden wird herausgestrichen
  • Das Absolutglied fällt weg
\( \begin{array}{ccccc} f(x)= & \textcolor{orange}{\frac{1}{3}}x^3 & +\textcolor{orange}{4}x^2 & -\textcolor{orange}{1}x & +\textcolor{green}{5} \\ & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ f'(x)= & \textcolor{orange}{\frac{1}{3}}\cdot{\textcolor{orangered}{3}}x^{\textcolor{orangered}{3}-1} & +\textcolor{orange}{4}\cdot{\textcolor{orangered}{2}}x^{\textcolor{orangered}{2}-1} & -\textcolor{orange}{1} \end{array} \)
Wenn wir zusammengefasst haben bleibt:
\(f'(x)=x^2+8x-1\)

Zusammenfassung

Du hast jetzt in 4 Beispielen die ersten Ableitungsregeln gelernt:
  • Potenzregel Exponent nach vorne ziehen und -1 rechnen
  • Faktorregel Faktoren werden unverändert mitgenommen
  • Summenregel → Jeder Summand wird einzeln abgeleitet
  • Absolutglieder fallen beim Ableiten weg

Wichtige Ableitungen

\(f(x) = \sqrt{x}\)
\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( f(x)=sin(x) \)
\(f'(x) = \cos(x) \)
\(f(x) = cos(x)\)
\(f'(x) = -sin(x) \)
\(f(x) = ln(x)\)
\(f'(x) = \dfrac{1}{x} \)
\(f(x) = e^x\)
\(f'(x) = e^x \)

Aufgaben

Übung 1: Ableitung nach \( x \)

1. \( f(x) = 3x \) 2. \( g(x) = 2x^2 \)
3. \( h(x) = 4x^3 \) 4. \( i(x) = 5x^4 \)
5. \( j(x) = 2\sqrt{x} \) 6. \( k(x) = \frac{1}{x} \)

Übung 2: Faktorregel und Summenregel

1. \( l(x)=4x+5 \)
2. \( m(x)=3x^2+2x \)
3. \( o(x)=(3x+2)(2x-1) \)
4. \( p(x)=2x^2+3x+1 \)
5. \( n(x)=2x^3+x^2+4x+1 \)
6. \( q(x)=5x^3-2x^2+3x+1 \)

Übung 3: Mehrere Terme und Faktoren

Tipp: manchmal musst du zunächst ausmultiplizeren und zusammenfassen.

1. \( r(x) = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 1 \)
2. \( s(x) = (x + 1)(2x - 3) \)
3. \( t(x) = x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 5x + 1 \)
4. \( u(x) = (4x^2 + 1)(3x - 2) \)
5. \( v(x) = 2x^3 + 5x^2 - x + 1 \)
6. \( w(x) = x(x^2 + 2x + 1) \)

Lösungen

Lösung 1: Ableitung nach \( x \)

1. \( f'(x) = 3 \) 2. \( g'(x) = 4x \)
3. \( h'(x) = 12x^2 \) 4. \( i'(x) = 20x^3 \)
5. \( j'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 6. \( k'(x) = -\frac{1}{x^2} \)

Lösung 2: Faktorregel und Summenregel

1. \( l'(x) = 4 \)
2.\( m'(x) = 6x + 2 \)
3. \( o'(x) = 6x + 2 \)
4. \( p'(x) = 4x + 3 \)
5. \( n'(x) = 6x^2 + 2x + 4 \)
6. \( q'(x) = 15x^2 - 4x + 3 \)

Lösung 3: Mehrere Terme und Faktoren

1. \( r'(x) = 6x^2 + 6x + 4 \)
2. \( s'(x) = 2x^2 - 3x + 2 \)
3. \( t'(x) = 4x^3 + 9x^2 + 4x + 5 \)
4. \( u'(x) = 12x^3 + 9x^2 - 8x - 4 \)
5. \( v'(x) = 6x^2 + 10x - 1 \)
6. \( w'(x) = 3x^2 + 4x + 2 \)