Schritt für Schritt erklärt
Ableiten: Faktor- und Summenregel
Lisa von onmathe •
Dez. 08, 2023
Entdecke jetzt, wie leicht Ableiten sein kann! In diesem Lernabschnitt führen wir dich durch einfache Beispiele und geben dir passende Übungsaufgaben an die Hand.
Merke
- Potenzregel: \(f(x)=x^n \hspace{0.2cm} → \hspace{0.2cm} f'(x)=n \cdot x^{n-1} \)
- Faktorregel: \( f(x)=a \cdot u(x) \hspace{0.2cm} → \hspace{0.2cm} f'(x)=a \cdot u'(x) \)
- Summenregel: \( f(x)=u(x)+v(x) \hspace{0.2cm}\) → \(\hspace{0.2cm} f'(x)=u'(x)+v'(x) \)
Das erwartet dich
Unser Inhaltsverzeichnis
Die Potenzregel
Beispiel
Solche Potenzfunktionen können wir in zwei einfachen Schritten ableiten:
1. Schritt → Ziehe die 2 im Exponenten von \(x^{\textcolor{orangered}{2}}\) nach vorne
\[x^{\textcolor{orangered}{2}} \xrightarrow[\textsf{vorne kopieren}]{\textsf{Exponent nach}} \textcolor{orangered}{2}x^{\textcolor{orangered}{\large{?}}}\]
2. Schritt → Rechne im Exponenten -1
\[\textcolor{orangered}{2}x^{\textcolor{orangered}{\large{?}}} \xrightarrow[\textsf{-1 rechnen}]{\textsf{im Exponenten}} \textcolor{orangered}{2}x^{\textcolor{orangered}{2}-{\textcolor{green}{1}}}\]
\[f'(x)={\large{\textcolor{orangered}{2}}}x^{\textcolor{orangered}{2}-{\textcolor{green}{1}}}\]
\[f'(x)=2x^1\]
Geschafft! Deine erste Ableitung – in nur zwei simplen Schritten: Exponent nach vorne ziehen und im Exponenten -1 rechnen. Das ist die Potenzregel.
Zeit für Nachhilfe die funktioniert
Sichere dir deine kostenlose Probestunde.
Die Faktorregel
Beispiel
- Der Faktor wird unverändert mitgenommen
- Der Exponent wird nach vorne gezogen und mit dem Faktor multiplizert
- Im Exponenten wird -1 gerechnet
\(f'(x)=\textcolor{orange}{3}\cdot\textcolor{orangered}{4}x^{\textcolor{orangered}{4}{-1}}\)
Jetzt noch zusammenfassen und die Ableitung ist komplett.
\(f'(x)=12x^3\)
Gerade hast du die Faktorregel gelernt → Faktoren werden beim Ableiten unverändert mitgenommen.
Die Summenregel
Beispiel
\(f(x) = \underbrace{\textcolor{orange}{2}x^{\textcolor{orangered}{3}}}_{\textsf{1. Summand}} - \underbrace{\textcolor{orange}{4}x^{\textcolor{orangered}{2}}}_{\textsf{2. Summand}} + \underbrace{\textcolor{orange}{5}x}_{\textsf{3. Summand}}\)
Um diese Summe abzuleiten gehen wir schrittweise von einem Summanden zum nächsten und leiten jede geschweifte Klammer einzeln ab. Die Rechenzeichen dazwischen nehmen wir einfach mit :
\(
\begin{array}{cccc}
f(x)= & \textcolor{orange}{2}x^{\textcolor{orangered}{3}} & -\textcolor{orange}{4}x^{\textcolor{orangered}{2}} & +\textcolor{orange}{5}x \\
& \downarrow & \downarrow & \downarrow \\
f'(x)= & \textcolor{orange}{2} \cdot \textcolor{orangered}{3}x^{\textcolor{orangered}{3}\textcolor{green}{-1}} & -\textcolor{orange}{4} \cdot \textcolor{orangered}{2}x^{\textcolor{orangered}{2}\textcolor{green}{-1}} & +\textcolor{orange}{5}
\end{array}
\)
...?... → Steht ein einfaches x im Summanden, darfst du es weglassen und aus der Ableitung herausstreichen.
\(f'(x)={\textcolor{orange}{2}}\cdot{\textcolor{orangered}{3}}x^{\textcolor{orangered}{3}\textcolor{green}{-1}}-{\textcolor{orange}{4}}*{\textcolor{orangered}{2}}x^{\textcolor{orangered}{2}\textcolor{green}{-1}}+ {\textcolor{orange}{5}}\)
Zusammengefasst ergibt sich die fertige Ableitung :
\(f'(x)=6x^2-8x+5\)
Das ist die Summenregel → Besteht eine Funktion aus mehreren Summanden leitest du Summand für Summand einzeln und nacheinander ab.
Zeit für Nachhilfe die funktioniert
Sichere dir deine kostenlose Probestunde.
Ein Beispiel - alle Regeln
Beispiel
Und was ist der Faktor vor dem -x?
\[f(x)=\textcolor{orange}{\frac{1}{3}}x^3+\textcolor{orange}{4}x^2-{\textcolor{orange}{1}}x+\textcolor{midnightblue}{5}\]
Der Faktor ist 1. Sie wird beim Schreiben von Funktionsgleichungen gerne weggelassen . Wir fassen nochmal zusammen:
- Der Faktor wird unverändert mitgenommen
- Der Exponent wird nach vorne gezogen und mit dem Faktor multipliziert
- Im Exponenten wird -1 gerechnet
- Wir leiten Summand für Summand ab
- Ein einfaches x im Summanden wird herausgestrichen
- Das Absolutglied fällt weg
\(
\begin{array}{ccccc}
f(x)= & \textcolor{orange}{\frac{1}{3}}x^3 & +\textcolor{orange}{4}x^2 & -\textcolor{orange}{1}x & +\textcolor{green}{5} \\
& \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\
f'(x)= & \textcolor{orange}{\frac{1}{3}}\cdot{\textcolor{orangered}{3}}x^{\textcolor{orangered}{3}-1} & +\textcolor{orange}{4}\cdot{\textcolor{orangered}{2}}x^{\textcolor{orangered}{2}-1} & -\textcolor{orange}{1}
\end{array}
\)
Wenn wir zusammengefasst haben bleibt:
\(f'(x)=x^2+8x-1\)
Zusammenfassung
Du hast jetzt in 4 Beispielen die ersten Ableitungsregeln gelernt:- Potenzregel → Exponent nach vorne ziehen und -1 rechnen
- Faktorregel → Faktoren werden unverändert mitgenommen
- Summenregel → Jeder Summand wird einzeln abgeleitet
- Absolutglieder → fallen beim Ableiten weg
Wichtige Ableitungen
\(f(x) = \sqrt{x}\)
\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( f(x)=sin(x) \)
\(f'(x) = \cos(x) \)
\(f(x) = cos(x)\)
\(f'(x) = -sin(x) \)
\(f(x) = ln(x)\)
\(f'(x) = \dfrac{1}{x} \)
\(f(x) = e^x\)
\(f'(x) = e^x \)
Aufgaben
Übung 1: Ableitung nach \( x \)
1. \( f(x) = 3x \) | 2. \( g(x) = 2x^2 \) |
3. \( h(x) = 4x^3 \) | 4. \( i(x) = 5x^4 \) |
5. \( j(x) = 2\sqrt{x} \) | 6. \( k(x) = \frac{1}{x} \) |
Übung 2: Faktorregel und Summenregel
1. \( l(x)=4x+5 \) |
2. \( m(x)=3x^2+2x \) |
3. \( o(x)=(3x+2)(2x-1) \) |
4. \( p(x)=2x^2+3x+1 \) |
5. \( n(x)=2x^3+x^2+4x+1 \) |
6. \( q(x)=5x^3-2x^2+3x+1 \) |
Übung 3: Mehrere Terme und Faktoren
Tipp: manchmal musst du zunächst ausmultiplizeren und zusammenfassen.
1. \( r(x) = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 1 \) |
2. \( s(x) = (x + 1)(2x - 3) \) |
3. \( t(x) = x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 5x + 1 \) |
4. \( u(x) = (4x^2 + 1)(3x - 2) \) |
5. \( v(x) = 2x^3 + 5x^2 - x + 1 \) |
6. \( w(x) = x(x^2 + 2x + 1) \) |
Lösungen
Lösung 1: Ableitung nach \( x \)
1. \( f'(x) = 3 \) | 2. \( g'(x) = 4x \) |
3. \( h'(x) = 12x^2 \) | 4. \( i'(x) = 20x^3 \) |
5. \( j'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) | 6. \( k'(x) = -\frac{1}{x^2} \) |
Lösung 2: Faktorregel und Summenregel
1. \( l'(x) = 4 \) |
2.\( m'(x) = 6x + 2 \) |
3. \( o'(x) = 6x + 2 \) |
4. \( p'(x) = 4x + 3 \) |
5. \( n'(x) = 6x^2 + 2x + 4 \) |
6. \( q'(x) = 15x^2 - 4x + 3 \) |
Lösung 3: Mehrere Terme und Faktoren
1. \( r'(x) = 6x^2 + 6x + 4 \) |
2. \( s'(x) = 2x^2 - 3x + 2 \) |
3. \( t'(x) = 4x^3 + 9x^2 + 4x + 5 \) |
4. \( u'(x) = 12x^3 + 9x^2 - 8x - 4 \) |
5. \( v'(x) = 6x^2 + 10x - 1 \) |
6. \( w'(x) = 3x^2 + 4x + 2 \) |
Weitere Artikel aus unserem Blog
Die Mitternachtsformel
Du lernst, wie du die Mitternachtsformel richtig...
Die wichtigsten Ableitungsregeln
Wenn du eine Übersicht aller Ableitungsregeln br...
Potenzgesetze
Findest du auch, dass Potenzgesetze wahnsin...
Kreis - Flächeninhalt & Umfang
Du willst wissen, wie man den Flächeninhalt und ...
Die Schulferien 2023-2024: Überschneidungen der Ferienzeiten aller Bundesländer
Die Ferienzeit – für Schüler eine ersehnte Pause v...