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Wie geht Ableiten?

Die Produktregel

Lisa von onmathe • Feb. 28, 2024
Die Produktregel
Zur Ableitung von Funktionen, die aus einem Produkt zweier Funktionen bestehen, ist die Anwendung der Produktregel erforderlich. Wir zeigen dir, wann sie angewendet werden muss, und führen dich Schritt für Schritt durch den Prozess.
Merke
\( f(x) = \textcolor{orangered}{u(x)} \cdot \textcolor{green}{v(x)} \)
\( f'(x) = \textcolor{orangered}{u'(x)} \cdot \textcolor{green}{v(x)} + \textcolor{orangered}{u(x)} \cdot \textcolor{green}{v'(x)} \)
Übersetzen wir die Produktregel in Worte, so besagt sie:
Erste Funktion abgeleitet mal zweite Funktion hingeschrieben plus erste Funktion hingeschrieben mal zweite Funktion abgeleitet.

Das erwartet dich

Unser Inhaltsverzeichnis

Ableiten mit der Produktregel

Beispiel
\(f(x)= x^2 \cdot sin(x) \)
In diesem Beispiel siehst du eine Funktion, die aus einem Produkt zweier Funktionen besteht.
Erste Funktion: \(\ \textcolor{orangered}{u(x)}=\textcolor{orangered}{x^2}\)
Zweite Funktion: \(\textcolor{green}{v(x)}= \textcolor{green}{sin(x)}\)
Um eine Funktion abzuleiten, die aus einem Produkt zweier Funktionen besteht, müssen wir die Produktregel anwenden.

Wir betrachten zunächst die Funktionen des Produktes nacheinander und leiten diese einzeln ab.
Erste Funktion: \(\ \textcolor{orangered}{u(x)}=\textcolor{orangered}{x^2}\)
Erste Ableitung: \(\textcolor{orangered}{v'(x)}= \textcolor{orangered}{2x}\)
Zweite Funktion: \(\textcolor{green}{v(x)}= \textcolor{green}{sin(x)}\)
Zweite Ableitung: \(\textcolor{green}{v'(x)}= \textcolor{green}{cos(x)}\)
Getrennt betrachtet war es ganz leicht, die beiden Funktionen, aus denen das Produkt besteht, abzuleiten. Nun fehlt noch der letzte Schritt - wir setzen alles in die Produktregel ein:
\( f'(x) = \textcolor{orangered}{u'(x)} \cdot \textcolor{green}{v(x)} + \textcolor{orangered}{u(x)} \cdot \textcolor{green}{v'(x)} \)
\(f'(x)= \textcolor{orangered}{2x} \cdot \textcolor{green}{sin(x)} + \textcolor{orangered}{x^2} \cdot \textcolor{green}{cos(x)}\)
Die abgeleitete Funktion kann man noch ein wenig zusammenfassen. Wie das funktioniert werden wir noch genauer erläutern.
Beispiel
\(f(x)= x^2 \cdot sin(x) \)
\(f'(x)= x\ (2\ sin(x) + x\ cos(x)) \)
Leitfaden
  • Überprüfen ob es sich um ein Produkt zweier Funktionen handelt.
  • Die beiden Funktionen \(\textcolor{orangered}{u(x)}\) und \(\textcolor{green}{v(x)}\) identifizieren
  • \(\textcolor{orangered}{u(x)}\) und \(\textcolor{green}{v(x)}\) getrennt voneinander ableiten.
  • Die Produktregel aufschreiben und alles einsetzen
  • Gegebenenfalls zusammenfassen und/oder ausklammern.
Merke
\( f(x) = \textcolor{orangered}{u(x)} \cdot \textcolor{green}{v(x)} \)
\( f'(x) = \textcolor{orangered}{u'(x)} \cdot \textcolor{green}{v(x)} + \textcolor{orangered}{u(x)} \cdot \textcolor{green}{v'(x)} \)
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Wann brauche ich die Produktregel?

Im ersten Beispiel haben wir die Produktregel angewendet. Aber warum haben wir das getan? Und woran können wir erkennen, dass die Produktregel angewendet werden muss? Wir schauen uns das erste Beispiel noch einmal an.
Beispiel
\(f(x)= x^2 \cdot sin(x) \)
Das Beispiel ist eine Funktion, die aus einem Produkt zweier Funktionen besteht. Um das zu erkennen, ziehen wir das Produkt auseinander, und betrachten die beiden Faktoren getrennt.
\({\textcolor{orangered}{x^2}}\) →   enthält die Variable \(x\) und ist somit eine Funktion
\({\textcolor{green}{sin(x)}}\) →   enthält die Variable \(x\) und ist somit eine Funktion
Zusammengefasst
Besteht das Produkt aus zwei Funktionen, wenden wir die Produktregel an. Du erkennst eine Funktion in einem Produkt daran, dass sie eine Variable wie beispielsweise \(x\) enthält.
Beispiel
\(f(x)= 4 \cdot sin(x) \)
Handelt es sich hierbei ebenfalls um das Produkt zweier Funktionen? Müssen wir auch diese Funktion nach der Produktregel ableiten? Wir schauen es uns einmal genauer an:
\(4 \ \) →   es gibt keine Variable - ist lediglich ein Faktor
\(sin(x) \ \) →   enthält die Variable \(x\) und ist somit eine Funktion
Es handelt sich nicht um zwei Funktionen, die multipliziert werden.
Da die \(4\) ohne Variable daher kommt, ist sie lediglich ein Faktor, und es muss nicht nach der Produktregel abgeleitet werde . Um diese Funktion abzuleiten, nutzen wir bevorzugt die Faktorregel.
Merke
Die Produktregel wird dann angewendet, wenn eine Funktion aus einem Produkt zweier Funktionen besteht.

Um in einem Produkt zwischen einem Faktor und einer Funktion zu unterscheiden, gilt:
Eine Funktion beinhaltet eine Variable, wie beispielsweise \(x\), während Faktoren Konstanten sind.

Abgeleitete Funktionen vereinfachen

Beispiel
\(f(x)= x \cdot e^x \)
Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an.
Wir betrachten die Struktur der Funktion, um sicher zu gehen, dass die Produktregel die richtige Wahl ist.
\(\textcolor{orangered}{x}\ \) enthält die Variable \(x\) → ist eine Funktion
\(\textcolor{green}{e^x}\ \) enthält die Variable \(x\) → ist eine Funktion
Nun sind wir sicher, dass wir mit der Produktregel die korrekte Ableitungsregel nutzen. Wir leiten die beiden Funktionen getrennt voneinander ab...
Erste Funktion: \(\ \textcolor{orangered}{u(x)}=\textcolor{orangered}{x}\)
Erste Ableitung: \(\textcolor{orangered}{u'(x)}= \textcolor{orangered}{1}\)
Zweite Funktion: \(\textcolor{green}{v(x)}= \textcolor{green}{e^x}\)
Zweite Ableitung: \(\textcolor{green}{v'(x)}= \textcolor{green}{e^x}\)
...und setzen alles in die Produktregel ein:
\( f'(x) = \textcolor{orangered}{u'(x)} \cdot \textcolor{green}{v(x)} + \textcolor{orangered}{u(x)} \cdot \textcolor{green}{v'(x)} \)
\(f'(x)= \textcolor{orangered}{1} \cdot \textcolor{green}{e^x} + \textcolor{orangered}{x} \cdot \textcolor{green}{e^x}\)
Die abgeleitete Funktion setzt sich aus zwei Summanden zusammen.
\(f'(x)= \underbrace{\textcolor{orangered}{1} \cdot \textcolor{green}{e^x}}_{\textsf{1. Summand}} + \underbrace{\textcolor{orangered}{x} \cdot \textcolor{green}{e^x}}_{\textsf{2. Summand}}\)
In beiden Summanden finden wir ein \(e^x\).
Da der Faktor \(e^x\) in beiden Termen der Funktion vorkommt, können wir ihn ausklammern.
\(f'(x)= \textcolor{green}{e^x} \cdot (\textcolor{orangered}{1+x})\)
Merke
Schau dir nach dem Ableiten die beiden Summanden die entstanden sind genau an. Haben sie einen gemeinsamen Faktor, kannst du diesen ausklammern.
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Aufgaben

Übung 1

1. \( f(x) = x^2 \cdot e^x \)
2. \( g(x) = (3x + 1) \cdot \sin(x) \)
4. \( h(x) = x \cdot \ln(x) \)

Übung 2

1. \( f(x) = (x^2 + 2x + 1) \cdot (2x + 3) \)
2. \( g(x) = x \cdot e^{-x} \)
3. \( h(x) = \sqrt{x} \cdot \cos(x) \)

Übung 3

1. \( f(x) = x^3 \cdot e^{2x} \)
2. \( g(x) = x^2\ (3\ sin(x) + x\ cos(x)) \)
3. \( h(x) = \ln(x) \cdot e^x \)

Lösungen

Lösung 1

1. \( f'(x) = e^x\ x\ (2 + x) \)
2. \( g'(x) = 3 sin(x) + 3x\ cos(x) + cos(x) \)
4. \( h'(x) = ln(x) + 1 \)

Lösung 2

1. \( f'(x) = 6x^2 + 14x + 8 \)
2. \( g'(x) = -e^{-x} \ (x-1) \)
3. \( h'(x) = \dfrac{cos(x) - 2x\ sin(x)}{2 \sqrt{x}} \)

Lösung 3

1. \( f'(x) = e^{2x}\ x^2(2x+3) \)
2. \( g'(x) = x \cdot \sin(x) \cdot \cos(x) \)
3. \( h'(x) = e^x\ (\dfrac{1}{x} + ln(x)) \)

Weiterführende Informationen zur Produktregel

Die Produktregel – Das Fundament für Ableitungen von Produkten
Die Produktregel ist ein grundlegendes Werkzeug der Differentialrechnung, das es ermöglicht, die Ableitung von Funktionen zu bestimmen, die als Produkt zweier anderer Funktionen dargestellt sind. Sie ist unverzichtbar, wenn du Funktionen analysieren möchtest, die aus der Multiplikation von zwei separaten Faktoren bestehen, sei es in der Mathematik, der Physik oder der Wirtschaft.

Was ist die Produktregel?
Die Produktregel beschreibt, wie die Ableitung eines Produkts von zwei Funktionen berechnet wird. Bei einer Funktion, die als Multiplikation zweier Funktionen f(x) und g(x) definiert ist, berücksichtigt die Produktregel die Ableitungen beider Faktoren.
Anstatt die Ableitungen separat zu berechnen, kombiniert die Produktregel sie in einem spezifischen Muster, das es ermöglicht, die Änderungsrate des gesamten Produkts zu bestimmen.

Praktische Anwendungen der Produktregel:

  • Physik: Berechnung von Kräften oder Energien, die aus der Multiplikation von variablen Größen resultieren.
  • Wirtschaft: Untersuchung von Umsatzfunktionen, die sowohl Preis- als auch Mengenänderungen beinhalten.
  • Ingenieurwissenschaften: Analyse von Systemen, bei denen sich mehrere Faktoren simultan ändern.

Warum ist die Produktregel wichtig?
Die Produktregel ist essenziell, wenn du Änderungen in Systemen beschreiben willst, in denen zwei Größen gleichzeitig variieren. Sie stellt sicher, dass die Wechselwirkungen zwischen den Funktionen berücksichtigt werden.

Häufige Fehler vermeiden

  1. Nur eine Funktion ableiten: Die Produktregel berücksichtigt immer die Ableitungen beider Faktoren.
  2. Falsche Reihenfolge der Schritte: Die Produktregel muss exakt angewendet werden, um korrekte Ergebnisse zu erzielen.
  3. Unvollständige Berechnung: Vergewissere dich, dass du jeden Teil des Produkts vollständig ableitest und summierst.

Tipps für die Anwendung der Produktregel

  • Beginne mit einfachen Beispielen, um das Prinzip der Regel zu verstehen.
  • Schreibe die einzelnen Schritte der Berechnung klar auf, um Fehler zu vermeiden.
  • Übe regelmäßig, um die Sicherheit im Umgang mit der Produktregel zu erhöhen.

Die Produktregel in der Praxis
Die Produktregel wird überall dort angewendet, wo Produkte von variierenden Größen betrachtet werden. Ihre Vielseitigkeit macht sie zu einem unverzichtbaren Werkzeug in der Mathematik und darüber hinaus.

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