Wie geht Ableiten?
Die Produktregel
Erste Funktion abgeleitet mal zweite Funktion hingeschrieben plus erste Funktion hingeschrieben mal zweite Funktion abgeleitet.
Das erwartet dich
Unser Inhaltsverzeichnis
Ableiten mit der Produktregel
- Überprüfen ob es sich um ein Produkt zweier Funktionen handelt.
- Die beiden Funktionen \(\textcolor{orangered}{u(x)}\) und \(\textcolor{green}{v(x)}\) identifizieren
- \(\textcolor{orangered}{u(x)}\) und \(\textcolor{green}{v(x)}\) getrennt voneinander ableiten.
- Die Produktregel aufschreiben und alles einsetzen
- Gegebenenfalls zusammenfassen und/oder ausklammern.
Wann brauche ich die Produktregel?
Im ersten Beispiel haben wir die Produktregel angewendet. Aber warum haben wir das getan? Und woran können wir erkennen, dass die Produktregel angewendet werden muss? Wir schauen uns das erste Beispiel noch einmal an.Da die \(4\) ohne Variable daher kommt, ist sie lediglich ein Faktor, und es muss nicht nach der Produktregel abgeleitet werde . Um diese Funktion abzuleiten, nutzen wir bevorzugt die Faktorregel.
Eine Funktion beinhaltet eine Variable, wie beispielsweise \(x\), während Faktoren Konstanten sind.
Abgeleitete Funktionen vereinfachen
Wir betrachten die Struktur der Funktion, um sicher zu gehen, dass die Produktregel die richtige Wahl ist.
Da der Faktor \(e^x\) in beiden Termen der Funktion vorkommt, können wir ihn ausklammern.
Aufgaben
Übung 1
| 1. \( f(x) = x^2 \cdot e^x \) |
| 2. \( g(x) = (3x + 1) \cdot \sin(x) \) |
| 4. \( h(x) = x \cdot \ln(x) \) |
Übung 2
| 1. \( f(x) = (x^2 + 2x + 1) \cdot (2x + 3) \) |
| 2. \( g(x) = x \cdot e^{-x} \) |
| 3. \( h(x) = \sqrt{x} \cdot \cos(x) \) |
Übung 3
| 1. \( f(x) = x^3 \cdot e^{2x} \) |
| 2. \( g(x) = x^2\ (3\ sin(x) + x\ cos(x)) \) |
| 3. \( h(x) = \ln(x) \cdot e^x \) |
Lösungen
Lösung 1
| 1. \( f'(x) = e^x\ x\ (2 + x) \) |
| 2. \( g'(x) = 3 sin(x) + 3x\ cos(x) + cos(x) \) |
| 4. \( h'(x) = ln(x) + 1 \) |
Lösung 2
| 1. \( f'(x) = 6x^2 + 14x + 8 \) |
| 2. \( g'(x) = -e^{-x} \ (x-1) \) |
| 3. \( h'(x) = \dfrac{cos(x) - 2x\ sin(x)}{2 \sqrt{x}} \) |
Lösung 3
| 1. \( f'(x) = e^{2x}\ x^2(2x+3) \) |
| 2. \( g'(x) = x \cdot \sin(x) \cdot \cos(x) \) |
| 3. \( h'(x) = e^x\ (\dfrac{1}{x} + ln(x)) \) |
Weiterführende Informationen zur Produktregel
Die Produktregel als unverzichtbares Werkzeug der Differentialrechnung
Ebenso unverzichtbar wie die Kettenregel in der Welt der Differentialrechnung ist die Produktregel. Sie kommt zum Einsatz, wenn du die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen bestimmen möchtest. Stelle dir eine Brücke vor, die zwei unterschiedliche Landmassen miteinander verbindet - in unserem Fall sind dies die Funktionen u(x) und v(x). Die Produktregel ermöglicht es dir, die Änderungsrate des gesamten Produkts zu verstehen, indem sie die individuellen Änderungsraten der beiden Funktionen berücksichtigt. Ob es darum geht, den Gewinn eines Unternehmens in Abhängigkeit von verschiedenen Faktoren zu analysieren oder die Kräfte in einem physikalischen System zu verstehen, die Produktregel hilft dir, die Beziehungen zwischen den verschiedenen Komponenten zu entwirren.
Was ist die Produktregel?
Die Produktregel ist eine Regel in der Differentialrechnung, die verwendet wird, um die Ableitung eines Produkts von zwei Funktionen zu finden. Wenn du zwei Funktionen hast, u(x) und v(x), dann ermöglicht dir die Produktregel zu verstehen, wie sich Änderungen in x auf das Produkt u(x)v(x) auswirken. Konkret besagt die Produktregel, dass die Ableitung des Produkts gleich dem Produkt der ersten Funktion und der Ableitung der zweiten Funktion plus dem Produkt der Ableitung der ersten Funktion und der zweiten Funktion ist. Diese Regel mag etwas verwirrend klingen, aber durch Beispiele und Übungen wird sie schnell verständlicher und anwendbarer.
Die mathematische Formulierung
Mathematisch wird die Produktregel wie folgt ausgedrückt: [u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). Dies bedeutet, dass die Ableitung des Produkts der beiden Funktionen gleich der Summe der Produkte der Ableitungen und der ursprünglichen Funktionen ist. Diese Formel erlaubt es, das Verhalten von Produkten verschiedener Funktionen zu analysieren, indem sie in ihre Komponenten zerlegt werden. Die Produktregel ist ebenso universell wie die Kettenregel und kann auf eine breite Palette von Funktionen angewendet werden.
Häufige Fehler vermeiden
Ein häufiger Fehler bei der Anwendung der Produktregel ist die Annahme, dass die Ableitung des Produkts einfach das Produkt der Ableitungen ist. Dies ist jedoch nicht der Fall; stattdessen muss die spezifische Formel der Produktregel angewendet werden. Ein weiterer Fehler ist das falsche Identifizieren der Funktionen u(x) und v(x) oder das fehlerhafte Berechnen ihrer Ableitungen. Ein klares Verständnis der einzelnen Funktionen und ihrer Ableitungen ist entscheidend für die korrekte Anwendung der Produktregel.
Tipps für effektives Lernen
Um die Produktregel zu meistern, beginne mit der Anwendung auf einfache Funktionen und arbeite dich dann zu komplexeren Beispielen hoch. Regelmäßige Übung hilft, ein intuitives Verständnis für die Regel zu entwickeln und Fehler zu vermeiden. Visuelle Hilfsmittel und die graphische Darstellung von Funktionen können ebenfalls nützlich sein, um die Auswirkungen von Änderungen in den Funktionen besser zu verstehen. Diskussionen in Gruppen oder mit einem Tutor können zusätzliche Perspektiven und Verständnis bieten.
Ursprünge der Produktregel
Ähnlich wie die Kettenregel hat auch die Produktregel ihre historischen Wurzeln in der Entwicklung der Differentialrechnung. Ihre Prinzipien wurden im Zuge der Arbeiten von Mathematikern wie Leibniz und Newton entwickelt, auch wenn sie, wie die Kettenregel, in ihrer heutigen Form erst später klar formuliert wurde. Die Produktregel entwickelte sich aus dem Bedürfnis heraus, das Verhalten von Produkten von Funktionen zu verstehen, und ist ein weiteres Beispiel für die fortlaufende Entwicklung der mathematischen Theorie durch die Beiträge vieler Generationen von Mathematikern.
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