Alle wichtigen Ableitungsregeln + Beispiele + Übungsaufgaben

Wie geht ableiten?

Die wichtigsten Ableitungsregeln

Lisa von onmathe • Jan. 18, 2024
Die wichtigsten Ableitungsregeln
Wenn du eine Übersicht aller Ableitungsregeln brauchst, bist du hier genau richtig. Du kannst über das Inhaltsverzeichnis sofort zu den einzelnen Regel springen.
Merke
  1. Potenzregel: \(f(x)=x^n \hspace{0.2cm} → \hspace{0.2cm} f'(x)=n \cdot x^{n-1} \)
  2. Faktorregel: \( f(x)=a \cdot u(x) \hspace{0.2cm} → \hspace{0.2cm} f'(x)=a \cdot u'(x) \)
  3. Summenregel: \( f(x)=u(x)+v(x) \hspace{0.2cm}\) → \(\hspace{0.2cm} f'(x)=u'(x)+v'(x) \)
  4. Kettenregel: \(f(x)=u(v(x)) \hspace{0.2cm}\) \(→ \hspace{0.2cm} f'(x)=u'(v(x)) \cdot v'(x) \)
  5. Produktregel: \( f(x)= u(x) \cdot v(x) \) \( \rightarrow f'(x)= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \)
  6. Quotientenregel: \( f(x)= \dfrac{u(x)}{v(x)}\) \(\hspace{0.2cm} → \hspace{0.2cm} f'(x)= \dfrac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2} \)

Die Potenzregel

Merke
\( f(x)=x^n \)
\( f'(x)=n \cdot x^{n-1} \)
Beispiel
\( f(x) = x^\textcolor{orangered}{3} \)
\( f'(x)= \textcolor{orangered}{3}x^\textcolor{green}{2} \)
Um eine Potenzfunktion abzuleiten, ziehst du den Exponenten nach vorne und rechnest dann im Exponenten -1.
\( \begin{array}{cc} \textsf{1.} & x^{\textcolor{orangered}{3}} \xrightarrow[\text{vorne kopieren}]{\text{Hochzahl nach}} \textcolor{orangered}{3}x^{\textcolor{orangered}{\large ?}} \\ \\ \textsf{2.} & \xrightarrow[\text{-1 rechnen}]{\text{in der Hochzahl}} \textcolor{orangered}{3}x^{\textcolor{orangered}{3}-{\textcolor{green}{1}}} \end{array} \)

Die Faktorregel

Merke
\( f(x)= a \cdot u(x) \)
\( f'(x)= a \cdot u'(x) \)
Beispiel
\( f(x)= \textcolor{orange}{4} \cdot x^\textcolor{orangered}{2} \)
\( f'(x)= \textcolor{orange}{4} \cdot \textcolor{orangered}{2} x^\textcolor{orangered}{1} \)
\( f'(x)= 8x \)
Der Faktor wird beim Ableiten unverändert mitgenommen und mit dem nach vorne gezogenen Exponenten multipliziert.
\( \begin{array}{c} f(x)= & \textcolor{orange}{4} & \Large{\cdot} & x^\textcolor{orangered}{2} \\ & \textsf{mitnehmen} & & {\textsf{Potenzregel}} \\ & \downarrow & & \downarrow \\ f'(x)= & \textcolor{orange}{4} & \Large{\cdot} & \textcolor{orangered}{2}x^1 \\ & \textsf{ zusammenfassen} \\ & \downarrow \\ f'(x)= & 8x \end{array} \)

Die Summenregel

Merke
\( f(x)= u(x) + v(x) \)
\( f'(x)= u'(x) + v'(x) \)
Beispiel
\( f(x)= \textcolor{orange}{2x^3} - \textcolor{orangered}{x^2} + \textcolor{green}{1x} \)
\( f'(x)= \textcolor{orange}{2 \cdot 3x^{2}} - \textcolor{orangered}{2 \cdot x^2} + \textcolor{green}{1} \)
Die Summenregel besagt, dass jeder einzelne Summand separat abgeleitet wird. Um dir dies zu verdeutlichen, haben wir die einzelnen Summanden in unterschiedlichen Farben dargestellt.
\(f(x) = \underbrace{\textcolor{orange}{2x^3}}_{\textsf{1. Summand}} - \underbrace{\textcolor{orangered}{x^2}}_{\textsf{2. Summand}} + \underbrace{\textcolor{green}{1x}}_{\textsf{3. Summand}}\)
In einer Summe wird jeder Summand einzeln, nacheinander abgeleitet.
\( \begin{array}{l} f(x)= & \textcolor{orange}{2x^3} & - & \textcolor{orangered}{x^2} & + & \textcolor{green}{1x} \\ & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ f'(x)= & \textcolor{orange}{2 \cdot 3x^{3-1}} & - & \textcolor{orangered}{2 \cdot x^{2-1}} & + & \textcolor{green}{1x^{1-1}} \\ & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ f'(x)= & \textcolor{orange}{6x^2} & - & \textcolor{orangered}{2x} & + &\textcolor{green}{1} \\ \end{array} \)
Wenn du als Summand nur ein einfaches x hast, so steht dort in Wirklichkeit 1 \(\cdot\) x. Beim Ableiten fällt das x weg und die 1 bleibt.

Die Kettenregel

Merke
\( f(x)= u(v(x)) \)
\( f'(x)= u'(v(x)) \cdot v'(x) \)
Beispiel
\(f(x)= \textcolor{green}{(\textcolor{orangered}{3x^2+4})^2} \)
\(f'(x)= \textcolor{green}{2} \cdot \textcolor{orangered}{6x} \cdot \textcolor{green}{ (\textcolor{orangered}{3x^2+4})^{1}} \)
\(f'(x)= 12x \cdot (3x^2+4) \)
Die Kettenregel benutzt du, wenn zwei Funktionen ineinander verschachtelt sind. Die äußere Funktion wird abgeleitet und mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert.

Zunächst müssen wir die innere Funktion herausschreiben und von ihr die Ableitung bilden. Diese innere Funktion steht in der äußeren Funktion und wird von ihr "festgehalten".
Innere Funktion: \(\ \textcolor{orangered}{v(x)}=\textcolor{orangered}{3x^2+4}\)
Innere Ableitung: \(\textcolor{orangered}{v'(x)}= \textcolor{orangered}{6x}\)
Jetzt benötigen wir noch die äußere Funktion und leiten auch diese ab. Du findest sie, indem du betrachtest, was die Funktion "umklammert".
Äußere Funktion: \(\textcolor{green}{u(x)}= \textcolor{green}{(\textcolor{black}{3x^2+4})^2}\)
Äußere Ableitung: \(\textcolor{green}{u'(x)}= \textcolor{green}{2 \cdot (\textcolor{black}{\textcolor{black}{3x^2+4}})^1}\)
Im letzten Schritt setzen wir alles in die Kettenregel ein und fassen zusammen:
\( f'(x) = \textcolor{green}{u'(\textcolor{orangered}{v(x)})} \cdot \textcolor{orangered}{v'(x)}\)
\(f'(x) = \textcolor{green}{2 \cdot (\textcolor{orangered}{3x^2+4})^1} \cdot \textcolor{orangered}{6x}\)
\(f'(x) = \textcolor{green}{2} \cdot \textcolor{orangered}{6x} \cdot (\textcolor{orangered}{3x^2+4})\)
\(f'(x) = 12x \cdot (3x^2+4)\)

Die Produktregel

Merke
\(f(x)= u(x) \cdot v(x) \)
\(f'(x)= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \)
Beispiel
\(f(x)= \textcolor{orangered}{(2x+1)} \cdot \textcolor{green}{(x^2+4x)} \)
\( f'(x)= \textcolor{orangered}{2} \cdot \textcolor{green}{(x^2+4x)} \) \(+ \textcolor{orangered}{(2x+1)} \cdot \textcolor{green}{(2x+4)} \)
\(f'(x)= 4x^2+18x+4 \)
Wenn du eine Funktion ableiten möchtest, die aus einem Produkt zweier Funktionen besteht, musst du die Produktregel nutzen.
Produktregel in Worten: 1. Faktor ableiten mal 2. Faktor abschreiben plus 1. Faktor abschreiben mal 2. Faktor ableiten.

Vor dem Ableiten schreiben wir den 1. Faktor und den 2. Faktor heraus. Die Ableitungen der beiden Faktoren führen wir einzeln durch und führen sie dann in der Produktregel zusammen.
\(f(x)= \underbrace{\textcolor{orangered}{(2x+1)}}_{\textcolor{orangered}{1. Faktor}} \cdot \underbrace{\textcolor{green}{(x^2+4x)}}_{\textcolor{green}{2. Faktor}} \)
Wichtig: Es ist nur dann ein Produkt aus zwei Funktionen, wenn jeder Faktor für sich eine Funktion darstellt, also ein x enthält.
1. Faktor:
\(\textcolor{orangered}{u(x)}= \textcolor{orangered}{(2x+1)} \)
\(\textcolor{orangered}{u'(x)}= \textcolor{orangered}{2}\)
2. Faktor:
\(\textcolor{green}{v(x)}= \textcolor{green}{(x^2+4x)}\)
\(\textcolor{green}{v'(x)}= \textcolor{green}{(2x+4)}\)
Nun setzen wir Faktoren und Ableitungen in die Produktregel ein...
\(f'(x)=\textcolor{orangered}{u'(x)} \cdot \textcolor{green}{v(x)} + \textcolor{orangered}{u(x)}\cdot \textcolor{green}{v'(x)}\)
\(f'(x)=\textcolor{orangered}{2}\cdot \textcolor{green}{(x^2+4x)}\) \(+ \textcolor{orangered}{(2x+1)}\cdot \textcolor{green}{(2x+4)}\)
... und fassen alles zusammen:
\(f'(x)=2 \cdot (x^2+4x)\)\(+(2x+1) \cdot (2x+4)\)
\(= 2x^2 + 8x + 4x^2 + 8x+2x +4\)
\(= 6x^2 + 18x +4\)

Die Quotientenregel

Merke
\(f(x)= \dfrac{u(x)}{v(x)} \)
\(f'(x)= \dfrac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2} \)
Beispiel
\(f(x) = \dfrac{\textcolor{orangered}{x^2+1}}{\textcolor{green}{x}} \)
\(f'(x) = \dfrac{\textcolor{orangered}{2x} \cdot \textcolor{green}{x} - \textcolor{orangered}{(x^2 + 1)} \cdot \textcolor{green}{1}}{\textcolor{green}{x^2}} \)
\(f'(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2} \)
Die Quotientenregel nutzt du, um gebrochenrationale Funktionen abzuleiten. Diese Funktionen setzen sich aus einer Funktion im Zähler und einer Funktion im Nenner zusammen.

Die Funktion im Beispiel setzt sich ebenfalls aus einer Funktion im Zähler und einer Funktion im Nenner zusammen, ist also eine gebrochenrationale Funktion. Wir schreiben Zähler und Nenner zunächst einzeln heraus und leiten sie ab.
Zähler:
\(\textcolor{orangered}{u(x)}= \textcolor{orangered}{x^2+1}\)
\(\textcolor{orangered}{u'(x)}= \textcolor{orangered}{2x}\)
Nenner:
\(\textcolor{green}{v(x)}= \textcolor{green}{x}\)
\(\textcolor{green}{v'(x)}= \textcolor{green}{1}\)
Vom Nenner bilden wir zusätzlich noch das Quadrat, das wir später im Nenner der Ableitung brauchen.
\( (\textcolor{green}{v(x)})^2 = \textcolor{green}{x}^2 \)
Die gesammelten Informationen setzen wir in die Quotientenregel ein und fassen zusammen:
\( f'(x) = \dfrac{\textcolor{orangered}{2x} \cdot \textcolor{green}{x} - \textcolor{orangered}{(x^2 + 1)} \cdot \textcolor{green}{1}}{\textcolor{green}{x^2}} \)
\( f'(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2} \)

Wichtige Ableitungen

\(f(x) = \sqrt{x}\)
\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( f(x)=sin(x) \)
\(f'(x) = \cos(x) \)
\(f(x) = cos(x)\)
\(f'(x) = -sin(x) \)
\(f(x) = ln(x)\)
\(f'(x) = \dfrac{1}{x} \)
\(f(x) = e^x\)
\(f'(x) = e^x \)

Aufgaben

Übung 1: Potenzregel

1. \( f(x) = x^3\) 2. \( g(x) = x^2 \)
3. \( h(x) = x^5 \) 4. \( i(x) = x \)

Übung 2: Faktorregel

1. \( f(x)=3x \)
2. \( g(x)=2x^2 \)
4. \( h(x)=4x^3 \)
5. \( i(x)= \dfrac{1}{3}x^3 \)

Übung 3: Summenregel

1. \( f(x) = x + 2 \)
2. \( g(x) = 2x + 3 \)
3. \( h(x) = x^2 - 4x \)
4. \( i(x) = x^3 + x^2 - x \)

Übung 4: Kettenregel

1. \( f(x) = (x^2 + 1)^2 \)
2. \( g(x) = e^{2x} \)
3. \( h(x) = \ln(x^2 + 1) \)
4. \( i(x) = \sin(x^2) \)

Übung 5: Produktregel

1. \( f(x) = (x+1)(x-2) \)
2. \( g(x) = x^2 \cdot e^x \)
3. \( h(x) = \ln(x) \cdot \sin(x) \)
4. \( i(x) = e^{2x} \cdot \cos(x) \)

Übung 6: Quotientenregel

1. \( f(x) = \dfrac{x^2}{x+1} \)
2. \( g(x) = \dfrac{\sin(x)}{x^2} \)
3. \( h(x)= \dfrac{\ln(x)}{x} \)
4. \( i(x) = \dfrac{e^x}{x^2 + 1} \)

Übung 7: Gemischte Aufgaben

1. \( f(x) = (x^2 + 1)e^x \)
2. \( g(x) = \dfrac{\sin(x)}{x^2+1} \)
3. \( h(x)= (3x^2 + 2x)e^{2x} \)
4. \( i(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x+2} \)

Lösungen

Lösung 1: Potenzregel

1. \( f'(x) = 3x^2\) 2. \( g'(x) = 2x \)
3. \( h'(x) = 5x^4 \) 4. \( i'(x) = 1 \)

Lösung 2: Faktorregel

1. \( f'(x)= 3 \)
2. \( g'(x)= 4x \)
4. \( h'(x)= 12x^2 \)
5. \( i'(x)= x^2 \)

Lösung 3: Summenregel

1. \( f'(x) = 1\)
2. \( g'(x) = 2 \)
3. \( h'(x) = 2x - 4 \)
4. \( i'(x) = 3x^2 + 2x - 1 \)

Lösung 4: Kettenregel

1. \( f'(x) = 4x(x^2 + 1) \)
2. \( g'(x) = 2e^{2x} \)
3. \( h'(x) = \dfrac{2x}{1+x^2} \)
4. \( i'(x) = 2x \cos(x^2) \)

Lösung 5: Produktregel

1. \( f'(x) = 2x+1 \)
2. \( g'(x) = e^xx(x+2) \)
3. \( h'(x) = \dfrac{sin(x)}{x}+ln(x) \cos(x) \)
4. \( i'(x) = e^{2x} \ (2cos(x)-sin(x)) \)

Lösung 6: Quotientenregel

1. \( f'(x) = \dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2} \)
2. \( g'(x) = \dfrac{xcos(x)-2sin(x)}{x^3} \)
3. \( h'(x)= \dfrac{1-\ln(x)}{x^2} \)
4. \( i'(x) = \dfrac{e^x \ (x-1)^2}{(x^2 + 1)^2} \)

Lösung 7: Gemischte Aufgaben

1. \( f(x) = e^x(x+1)^2 \)
2. \( g'(x) = \dfrac{(x^2+1)\cos(x)-2xsin(x)}{(x^2+1)^2} \)
3. \( h'(x)= 2e^{2x}(3x^2+5x+1) \)
4. \( i'(x) = \dfrac{x^2 + 4x - 1}{(x+2)^2} \)