Wie geht Ableiten?
Die wichtigsten Ableitungsregeln
Lisa von onmathe •
Jan. 18, 2024
Wenn du eine Übersicht aller Ableitungsregeln brauchst, bist du hier genau richtig. Du kannst über das Inhaltsverzeichnis sofort zu den einzelnen Regel springen.
Merke
- Potenzregel: \(f(x)=x^n \hspace{0.2cm} → \hspace{0.2cm} f'(x)=n \cdot x^{n-1} \)
- Faktorregel: \( f(x)=a \cdot u(x) \hspace{0.2cm} \) → \( \hspace{0.2cm} f'(x)=a \cdot u'(x) \)
- Summenregel: \( f(x)=u(x)+v(x) \hspace{0.2cm}\) → \(\hspace{0.2cm} f'(x)=u'(x)+v'(x) \)
- Kettenregel: \(f(x)=u(v(x)) \hspace{0.2cm}\) \(→ \hspace{0.2cm} f'(x)=u'(v(x)) \cdot v'(x) \)
- Produktregel: \( f(x)= u(x) \cdot v(x) \) \( \rightarrow f'(x)= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \)
- Quotientenregel: \( f(x)= \dfrac{u(x)}{v(x)}\) \(\hspace{0.2cm} → \hspace{0.2cm} f'(x)= \dfrac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2} \)
Das erwartet dich
Unser Inhaltsverzeichnis
Die Potenzregel
Merke
\( f(x)=x^n \)
\( f'(x)=n \cdot x^{n-1} \)
Beispiel
\(f(x) = x^{\textcolor{orangered}{3}} \)
\( f'(x)= {\textcolor{orangered}{3}}x^{\textcolor{green}{2}}\)
\(
\begin{array}{cc}
\textsf{1.} &
x^{\textcolor{orangered}{3}} \xrightarrow[\text{vorne kopieren}]{\text{Hochzahl nach}} \textcolor{orangered}{3}x^{\textcolor{orangered}{\large ?}}
\\
\\
\textsf{2.} & \xrightarrow[\text{-1 rechnen}]{\text{in der Hochzahl}} \textcolor{orangered}{3}x^{\textcolor{orangered}{3}-{\textcolor{green}{1}}}
\end{array} \)
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Die Faktorregel
Merke
\( f(x)= a \cdot u(x) \)
\( f'(x)= a \cdot u'(x) \)
Beispiel
\( f(x)= {\textcolor{orange}{4}} \cdot x^{\textcolor{orangered}{2}} \)
\( f'(x)= {\textcolor{orange}{4}} \cdot {\textcolor{orangered}{2}} x^{\textcolor{orangered}{1}} \)
\( f'(x)= 8x \)
\(\begin{array}{c}
f(x)= & {\textcolor{orange}{4}} & \Large{\cdot} & x^{\textcolor{orangered}{2}} \\
& \textsf{mitnehmen} & & {\textsf{Potenzregel}} \\
& \downarrow & & \downarrow \\
f'(x)= & {\textcolor{orange}{4}} & \Large{\cdot} & {\textcolor{orangered}{2}}x^1 \\
& \textsf{ zusammenfassen} \\
& \downarrow \\
f'(x)= & 8x
\end{array} \)
Die Summenregel
Merke
\( f(x)= u(x) + v(x) \)
\( f'(x)= u'(x) + v'(x) \)
Beispiel
\( f(x)= \textcolor{orange}{2x^3} - \textcolor{orangered}{x^2} + \textcolor{green}{1x} \)
\( f'(x)= \textcolor{orange}{2 \cdot 3x^{2}} - \textcolor{orangered}{2 \cdot x^2} + \textcolor{green}{1} \)
\(f(x)=\underbrace{\textcolor{orange}{2x^3}}_{\textsf{1. Summand}} - \underbrace{\textcolor{orangered}{x^2}}_{\textsf{2. Summand}} + \underbrace{\textcolor{green}{1x}}_{\textsf{3. Summand}}\)
In einer Summe wird jeder Summand einzeln, nacheinander abgeleitet.
\(
\begin{array}{l}
f(x)= & \textcolor{orange}{2x^3} & - & \textcolor{orangered}{x^2} & + & \textcolor{green}{1x} \\
& \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\
f'(x)= & \textcolor{orange}{2 \cdot 3x^{3-1}} & - & \textcolor{orangered}{2 \cdot x^{2-1}} & + & \textcolor{green}{1x^{1-1}} \\
& \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\
f'(x)= & \textcolor{orange}{6x^2} & - & \textcolor{orangered}{2x} & + &\textcolor{green}{1} \\
\end{array}
\)
Wenn du als Summand nur ein einfaches x hast, so steht dort in Wirklichkeit 1 \(\cdot\) x. Beim Ableiten fällt das x weg und die 1 bleibt.
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Die Kettenregel
Merke
\( f(x)= u(v(x)) \)
\( f'(x)= u'(v(x)) \cdot v'(x) \)
Beispiel
\(f(x)= \textcolor{green}{(\textcolor{orangered}{3x^2+4})^2} \)
\(f'(x)= \textcolor{green}{2} \cdot \textcolor{orangered}{6x} \cdot \textcolor{green}{ (\textcolor{orangered}{3x^2+4})^{1}} \)
\(f'(x)= 12x \cdot (3x^2+4) \)
Innere Funktion: \(\ \textcolor{orangered}{v(x)}=\textcolor{orangered}{3x^2+4}\)
Innere Ableitung: \(\textcolor{orangered}{v'(x)}= \textcolor{orangered}{6x}\) Äußere Funktion: \(\textcolor{green}{u(x)}= \textcolor{green}{(\textcolor{black}{3x^2+4})^2}\)
Äußere Ableitung: \(\textcolor{green}{u'(x)}= \textcolor{green}{2 \cdot (\textcolor{black}{\textcolor{black}{3x^2+4}})^1}\) \( f'(x) = \textcolor{green}{u'(\textcolor{orangered}{v(x)})} \cdot \textcolor{orangered}{v'(x)}\)
\(f'(x) = \textcolor{green}{2 \cdot (\textcolor{orangered}{3x^2+4})^1} \cdot \textcolor{orangered}{6x}\)
\(f'(x) = \textcolor{green}{2} \cdot \textcolor{orangered}{6x} \cdot (\textcolor{orangered}{3x^2+4})\)
\(f'(x) = 12x \cdot (3x^2+4)\)
Die Produktregel
Merke
\(f(x)= u(x) \cdot v(x) \)
\(f'(x)= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \)
Beispiel
\(f(x)= \textcolor{orangered}{(2x+1)} \cdot \textcolor{green}{(x^2+4x)} \)
\( f'(x)= \textcolor{orangered}{2} \cdot \textcolor{green}{(x^2+4x)} \) \(+ \textcolor{orangered}{(2x+1)} \cdot \textcolor{green}{(2x+4)} \)
\(f'(x)= 4x^2+18x+4 \)
Produktregel in Worten: 1. Faktor ableiten mal 2. Faktor abschreiben plus 1. Faktor abschreiben mal 2. Faktor ableiten. Vor dem Ableiten schreiben wir den 1. Faktor und den 2. Faktor heraus. Die Ableitungen der beiden Faktoren führen wir einzeln durch und führen sie dann in der Produktregel zusammen.
\(f(x)= \underbrace{\textcolor{orangered}{(2x+1)}}_{\textcolor{orangered}{1. Faktor}} \cdot \underbrace{\textcolor{green}{(x^2+4x)}}_{\textcolor{green}{2. Faktor}} \)
Wichtig: Es ist nur dann ein Produkt aus zwei Funktionen, wenn jeder Faktor für sich eine Funktion darstellt, also ein x enthält.
1. Faktor:
\(\textcolor{orangered}{u(x)}= \textcolor{orangered}{(2x+1)} \)
\(\textcolor{orangered}{u'(x)}= \textcolor{orangered}{2}\)
2. Faktor:
Nun setzen wir Faktoren und Ableitungen in die Produktregel ein...
\(\textcolor{green}{v(x)}= \textcolor{green}{(x^2+4x)}\)
\(\textcolor{green}{v'(x)}= \textcolor{green}{(2x+4)}\)
\(f'(x)=\textcolor{orangered}{u'(x)} \cdot \textcolor{green}{v(x)} + \textcolor{orangered}{u(x)}\cdot \textcolor{green}{v'(x)}\)
\(f'(x)=\textcolor{orangered}{2}\cdot \textcolor{green}{(x^2+4x)}\)
\(+ \ \textcolor{orangered}{(2x+1)} \cdot \textcolor{green}{(2x+4)}\)
\(f'(x)=2 \cdot (x^2+4x)\)\(+(2x+1) (2x+4)\)
\(f'(x) = 2x^2 + 8x + 4x^2 \) \(+ 8x+2x +4\)
\(f'(x) = 6x^2 + 18x +4\)
Die Quotientenregel
Merke
\(f(x)= \dfrac{u(x)}{v(x)} \)
\(f'(x)= \dfrac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2} \)
Beispiel
\(f(x) = \dfrac{\textcolor{orangered}{x^2+1}}{\textcolor{green}{x}} \)
\(f'(x) = \dfrac{\textcolor{orangered}{2x} \cdot \textcolor{green}{x} - \textcolor{orangered}{(x^2 + 1)} \cdot \textcolor{green}{1}}{\textcolor{green}{x^2}} \)
\(f'(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2} \)
Zähler:
\(\textcolor{orangered}{u(x)}= \textcolor{orangered}{x^2+1}\)
\(\textcolor{orangered}{u'(x)}= \textcolor{orangered}{2x}\)
Nenner:
Vom Nenner bilden wir zusätzlich noch das Quadrat, das wir später im Nenner der Ableitung brauchen.
\(\textcolor{green}{v(x)}= \textcolor{green}{x}\)
\(\textcolor{green}{v'(x)}= \textcolor{green}{1}\)
\( (\textcolor{green}{v(x)})^2 = \textcolor{green}{x}^2 \)
Die gesammelten Informationen setzen wir in die Quotientenregel ein und fassen zusammen:
\( f'(x) = \dfrac{\textcolor{orangered}{2x} \cdot \textcolor{green}{x} - \textcolor{orangered}{(x^2 + 1)} \cdot \textcolor{green}{1}}{\textcolor{green}{x^2}} \)
\( f'(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2} \) Wichtige Ableitungen
\(f(x) = \sqrt{x}\)
\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( f(x)=sin(x) \)
\(f'(x) = \cos(x) \)
\(f(x) = cos(x)\)
\(f'(x) = -sin(x) \)
\(f(x) = ln(x)\)
\(f'(x) = \dfrac{1}{x} \)
\(f(x) = e^x\)
\(f'(x) = e^x \)
Aufgaben
Übung 1: Potenzregel
| 1. \( f(x) = x^3\) | 2. \( g(x) = x^2 \) |
| 3. \( h(x) = x^5 \) | 4. \( i(x) = x \) |
Übung 2: Faktorregel
| 1. \( f(x)=3x \) |
| 2. \( g(x)=2x^2 \) |
| 4. \( h(x)=4x^3 \) |
| 5. \( i(x)= \dfrac{1}{3}x^3 \) |
Übung 3: Summenregel
| 1. \( f(x) = x + 2 \) |
| 2. \( g(x) = 2x + 3 \) |
| 3. \( h(x) = x^2 - 4x \) |
| 4. \( i(x) = x^3 + x^2 - x \) |
Übung 4: Kettenregel
| 1. \( f(x) = (x^2 + 1)^2 \) |
| 2. \( g(x) = e^{2x} \) |
| 3. \( h(x) = \ln(x^2 + 1) \) |
| 4. \( i(x) = \sin(x^2) \) |
Übung 5: Produktregel
| 1. \( f(x) = (x+1)(x-2) \) |
| 2. \( g(x) = x^2 \cdot e^x \) |
| 3. \( h(x) = \ln(x) \cdot \sin(x) \) |
| 4. \( i(x) = e^{2x} \cdot \cos(x) \) |
Übung 6: Quotientenregel
| 1. \( f(x) = \dfrac{x^2}{x+1} \) |
| 2. \( g(x) = \dfrac{\sin(x)}{x^2} \) |
| 3. \( h(x)= \dfrac{\ln(x)}{x} \) |
| 4. \( i(x) = \dfrac{e^x}{x^2 + 1} \) |
Übung 7: Gemischte Aufgaben
| 1. \( f(x) = (x^2 + 1)e^x \) |
| 2. \( g(x) = \dfrac{\sin(x)}{x^2+1} \) |
| 3. \( h(x)= (3x^2 + 2x)e^{2x} \) |
| 4. \( i(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x+2} \) |
Lösungen
Lösung 1: Potenzregel
| 1. \( f'(x) = 3x^2\) | 2. \( g'(x) = 2x \) |
| 3. \( h'(x) = 5x^4 \) | 4. \( i'(x) = 1 \) |
Lösung 2: Faktorregel
| 1. \( f'(x)= 3 \) |
| 2. \( g'(x)= 4x \) |
| 4. \( h'(x)= 12x^2 \) |
| 5. \( i'(x)= x^2 \) |
Lösung 3: Summenregel
| 1. \( f'(x) = 1\) |
| 2. \( g'(x) = 2 \) |
| 3. \( h'(x) = 2x - 4 \) |
| 4. \( i'(x) = 3x^2 + 2x - 1 \) |
Lösung 4: Kettenregel
| 1. \( f'(x) = 4x(x^2 + 1) \) |
| 2. \( g'(x) = 2e^{2x} \) |
| 3. \( h'(x) = \dfrac{2x}{1+x^2} \) |
| 4. \( i'(x) = 2x \cos(x^2) \) |
Lösung 5: Produktregel
| 1. \( f'(x) = 2x+1 \) |
| 2. \( g'(x) = e^xx(x+2) \) |
| 3. \( h'(x) = \dfrac{sin(x)}{x}+ln(x) \cos(x) \) |
| 4. \( i'(x) = e^{2x} \ (2cos(x)-sin(x)) \) |
Lösung 6: Quotientenregel
| 1. \( f'(x) = \dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2} \) |
| 2. \( g'(x) = \dfrac{xcos(x)-2sin(x)}{x^3} \) |
| 3. \( h'(x)= \dfrac{1-\ln(x)}{x^2} \) |
| 4. \( i'(x) = \dfrac{e^x \ (x-1)^2}{(x^2 + 1)^2} \) |
Lösung 7: Gemischte Aufgaben
| 1. \( f(x) = e^x(x+1)^2 \) |
| 2. \( g'(x) = \dfrac{(x^2+1)\cos(x)-2xsin(x)}{(x^2+1)^2} \) |
| 3. \( h'(x)= 2e^{2x}(3x^2+5x+1) \) |
| 4. \( i'(x) = \dfrac{x^2 + 4x - 1}{(x+2)^2} \) |
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