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Wie geht Ableiten?

Die wichtigsten Ableitungsregeln

Lisa von onmathe • Jan. 18, 2024
Die wichtigsten Ableitungsregeln
Wenn du eine Übersicht aller Ableitungsregeln brauchst, bist du hier genau richtig. Du kannst über das Inhaltsverzeichnis sofort zu den einzelnen Regel springen.
Merke
  1. Potenzregel: \(f(x)=x^n \hspace{0.2cm} → \hspace{0.2cm} f'(x)=n \cdot x^{n-1} \)
  2. Faktorregel: \( f(x)=a \cdot u(x) \hspace{0.2cm} \) → \( \hspace{0.2cm} f'(x)=a \cdot u'(x) \)
  3. Summenregel: \( f(x)=u(x)+v(x) \hspace{0.2cm}\) → \(\hspace{0.2cm} f'(x)=u'(x)+v'(x) \)
  4. Kettenregel: \(f(x)=u(v(x)) \hspace{0.2cm}\) \(→ \hspace{0.2cm} f'(x)=u'(v(x)) \cdot v'(x) \)
  5. Produktregel: \( f(x)= u(x) \cdot v(x) \) \( \rightarrow f'(x)= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \)
  6. Quotientenregel: \( f(x)= \dfrac{u(x)}{v(x)}\) \(\hspace{0.2cm} → \hspace{0.2cm} f'(x)= \dfrac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2} \)

Das erwartet dich

Unser Inhaltsverzeichnis

Die Potenzregel

Merke
\( f(x)=x^n \)
\( f'(x)=n \cdot x^{n-1} \)
Beispiel
\(f(x) = x^{\textcolor{orangered}{3}} \)
\( f'(x)= {\textcolor{orangered}{3}}x^{\textcolor{green}{2}}\)
Um eine Potenzfunktion abzuleiten, ziehst du den Exponenten nach vorne und rechnest dann im Exponenten -1.
\( \begin{array}{cc} \textsf{1.} & x^{\textcolor{orangered}{3}} \xrightarrow[\text{vorne kopieren}]{\text{Hochzahl nach}} \textcolor{orangered}{3}x^{\textcolor{orangered}{\large ?}} \\ \\ \textsf{2.} & \xrightarrow[\text{-1 rechnen}]{\text{in der Hochzahl}} \textcolor{orangered}{3}x^{\textcolor{orangered}{3}-{\textcolor{green}{1}}} \end{array} \)

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Die Faktorregel

Merke
\( f(x)= a \cdot u(x) \)
\( f'(x)= a \cdot u'(x) \)
Beispiel
\( f(x)= {\textcolor{orange}{4}} \cdot x^{\textcolor{orangered}{2}} \)
\( f'(x)= {\textcolor{orange}{4}} \cdot {\textcolor{orangered}{2}} x^{\textcolor{orangered}{1}} \)
\( f'(x)= 8x \)
Der Faktor wird beim Ableiten unverändert mitgenommen und mit dem nach vorne gezogenen Exponenten multipliziert.
\(\begin{array}{c} f(x)= & {\textcolor{orange}{4}} & \Large{\cdot} & x^{\textcolor{orangered}{2}} \\ & \textsf{mitnehmen} & & {\textsf{Potenzregel}} \\ & \downarrow & & \downarrow \\ f'(x)= & {\textcolor{orange}{4}} & \Large{\cdot} & {\textcolor{orangered}{2}}x^1 \\ & \textsf{ zusammenfassen} \\ & \downarrow \\ f'(x)= & 8x \end{array} \)

Die Summenregel

Merke
\( f(x)= u(x) + v(x) \)
\( f'(x)= u'(x) + v'(x) \)
Beispiel
\( f(x)= \textcolor{orange}{2x^3} - \textcolor{orangered}{x^2} + \textcolor{green}{1x} \)
\( f'(x)= \textcolor{orange}{2 \cdot 3x^{2}} - \textcolor{orangered}{2 \cdot x^2} + \textcolor{green}{1} \)
Die Summenregel besagt, dass jeder einzelne Summand separat abgeleitet wird. Um dir dies zu verdeutlichen, haben wir die einzelnen Summanden in unterschiedlichen Farben dargestellt.
\(f(x)=\underbrace{\textcolor{orange}{2x^3}}_{\textsf{1. Summand}} - \underbrace{\textcolor{orangered}{x^2}}_{\textsf{2. Summand}} + \underbrace{\textcolor{green}{1x}}_{\textsf{3. Summand}}\)
In einer Summe wird jeder Summand einzeln, nacheinander abgeleitet.
\( \begin{array}{l} f(x)= & \textcolor{orange}{2x^3} & - & \textcolor{orangered}{x^2} & + & \textcolor{green}{1x} \\ & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ f'(x)= & \textcolor{orange}{2 \cdot 3x^{3-1}} & - & \textcolor{orangered}{2 \cdot x^{2-1}} & + & \textcolor{green}{1x^{1-1}} \\ & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ f'(x)= & \textcolor{orange}{6x^2} & - & \textcolor{orangered}{2x} & + &\textcolor{green}{1} \\ \end{array} \)
Wenn du als Summand nur ein einfaches x hast, so steht dort in Wirklichkeit 1 \(\cdot\) x. Beim Ableiten fällt das x weg und die 1 bleibt.

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Die Kettenregel

Merke
\( f(x)= u(v(x)) \)
\( f'(x)= u'(v(x)) \cdot v'(x) \)
Beispiel
\(f(x)= \textcolor{green}{(\textcolor{orangered}{3x^2+4})^2} \)
\(f'(x)= \textcolor{green}{2} \cdot \textcolor{orangered}{6x} \cdot \textcolor{green}{ (\textcolor{orangered}{3x^2+4})^{1}} \)
\(f'(x)= 12x \cdot (3x^2+4) \)
Die Kettenregel benutzt du, wenn zwei Funktionen ineinander verschachtelt sind. Die äußere Funktion wird abgeleitet und mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert.

Zunächst müssen wir die innere Funktion herausschreiben und von ihr die Ableitung bilden. Diese innere Funktion steht in der äußeren Funktion und wird von ihr "festgehalten".
Innere Funktion: \(\ \textcolor{orangered}{v(x)}=\textcolor{orangered}{3x^2+4}\)
Innere Ableitung: \(\textcolor{orangered}{v'(x)}= \textcolor{orangered}{6x}\)
Jetzt benötigen wir noch die äußere Funktion und leiten auch diese ab. Du findest sie, indem du betrachtest, was die Funktion "umklammert".
Äußere Funktion: \(\textcolor{green}{u(x)}= \textcolor{green}{(\textcolor{black}{3x^2+4})^2}\)
Äußere Ableitung: \(\textcolor{green}{u'(x)}= \textcolor{green}{2 \cdot (\textcolor{black}{\textcolor{black}{3x^2+4}})^1}\)
Im letzten Schritt setzen wir alles in die Kettenregel ein und fassen zusammen:
\( f'(x) = \textcolor{green}{u'(\textcolor{orangered}{v(x)})} \cdot \textcolor{orangered}{v'(x)}\)
\(f'(x) = \textcolor{green}{2 \cdot (\textcolor{orangered}{3x^2+4})^1} \cdot \textcolor{orangered}{6x}\)
\(f'(x) = \textcolor{green}{2} \cdot \textcolor{orangered}{6x} \cdot (\textcolor{orangered}{3x^2+4})\)
\(f'(x) = 12x \cdot (3x^2+4)\)

Die Produktregel

Merke
\(f(x)= u(x) \cdot v(x) \)
\(f'(x)= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \)
Beispiel
\(f(x)= \textcolor{orangered}{(2x+1)} \cdot \textcolor{green}{(x^2+4x)} \)
\( f'(x)= \textcolor{orangered}{2} \cdot \textcolor{green}{(x^2+4x)} \) \(+ \textcolor{orangered}{(2x+1)} \cdot \textcolor{green}{(2x+4)} \)
\(f'(x)= 4x^2+18x+4 \)
Wenn du eine Funktion ableiten möchtest, die aus einem Produkt zweier Funktionen besteht, musst du die Produktregel nutzen.
Produktregel in Worten: 1. Faktor ableiten mal 2. Faktor abschreiben plus 1. Faktor abschreiben mal 2. Faktor ableiten.

Vor dem Ableiten schreiben wir den 1. Faktor und den 2. Faktor heraus. Die Ableitungen der beiden Faktoren führen wir einzeln durch und führen sie dann in der Produktregel zusammen.
\(f(x)= \underbrace{\textcolor{orangered}{(2x+1)}}_{\textcolor{orangered}{1. Faktor}} \cdot \underbrace{\textcolor{green}{(x^2+4x)}}_{\textcolor{green}{2. Faktor}} \)
Wichtig: Es ist nur dann ein Produkt aus zwei Funktionen, wenn jeder Faktor für sich eine Funktion darstellt, also ein x enthält.
1. Faktor:
\(\textcolor{orangered}{u(x)}= \textcolor{orangered}{(2x+1)} \)
\(\textcolor{orangered}{u'(x)}= \textcolor{orangered}{2}\)
2. Faktor:
\(\textcolor{green}{v(x)}= \textcolor{green}{(x^2+4x)}\)
\(\textcolor{green}{v'(x)}= \textcolor{green}{(2x+4)}\)
Nun setzen wir Faktoren und Ableitungen in die Produktregel ein...
\(f'(x)=\textcolor{orangered}{u'(x)} \cdot \textcolor{green}{v(x)} + \textcolor{orangered}{u(x)}\cdot \textcolor{green}{v'(x)}\)
\(f'(x)=\textcolor{orangered}{2}\cdot \textcolor{green}{(x^2+4x)}\) \(+ \ \textcolor{orangered}{(2x+1)} \cdot \textcolor{green}{(2x+4)}\)
... und fassen alles zusammen:
\(f'(x)=2 \cdot (x^2+4x)\)\(+(2x+1) (2x+4)\)
\(f'(x) = 2x^2 + 8x + 4x^2 \) \(+ 8x+2x +4\)
\(f'(x) = 6x^2 + 18x +4\)

Die Quotientenregel

Merke
\(f(x)= \dfrac{u(x)}{v(x)} \)
\(f'(x)= \dfrac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2} \)
Beispiel
\(f(x) = \dfrac{\textcolor{orangered}{x^2+1}}{\textcolor{green}{x}} \)
\(f'(x) = \dfrac{\textcolor{orangered}{2x} \cdot \textcolor{green}{x} - \textcolor{orangered}{(x^2 + 1)} \cdot \textcolor{green}{1}}{\textcolor{green}{x^2}} \)
\(f'(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2} \)
Die Quotientenregel nutzt du, um gebrochenrationale Funktionen abzuleiten. Diese Funktionen setzen sich aus einer Funktion im Zähler und einer Funktion im Nenner zusammen.

Die Funktion im Beispiel setzt sich ebenfalls aus einer Funktion im Zähler und einer Funktion im Nenner zusammen, ist also eine gebrochenrationale Funktion. Wir schreiben Zähler und Nenner zunächst einzeln heraus und leiten sie ab.
Zähler:
\(\textcolor{orangered}{u(x)}= \textcolor{orangered}{x^2+1}\)
\(\textcolor{orangered}{u'(x)}= \textcolor{orangered}{2x}\)
Nenner:
\(\textcolor{green}{v(x)}= \textcolor{green}{x}\)
\(\textcolor{green}{v'(x)}= \textcolor{green}{1}\)
Vom Nenner bilden wir zusätzlich noch das Quadrat, das wir später im Nenner der Ableitung brauchen.
\( (\textcolor{green}{v(x)})^2 = \textcolor{green}{x}^2 \)
Die gesammelten Informationen setzen wir in die Quotientenregel ein und fassen zusammen:
\( f'(x) = \dfrac{\textcolor{orangered}{2x} \cdot \textcolor{green}{x} - \textcolor{orangered}{(x^2 + 1)} \cdot \textcolor{green}{1}}{\textcolor{green}{x^2}} \)
\( f'(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2} \)

Wichtige Ableitungen

\(f(x) = \sqrt{x}\)
\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( f(x)=sin(x) \)
\(f'(x) = \cos(x) \)
\(f(x) = cos(x)\)
\(f'(x) = -sin(x) \)
\(f(x) = ln(x)\)
\(f'(x) = \dfrac{1}{x} \)
\(f(x) = e^x\)
\(f'(x) = e^x \)

Aufgaben

Übung 1: Potenzregel

1. \( f(x) = x^3\) 2. \( g(x) = x^2 \)
3. \( h(x) = x^5 \) 4. \( i(x) = x \)

Übung 2: Faktorregel

1. \( f(x)=3x \)
2. \( g(x)=2x^2 \)
4. \( h(x)=4x^3 \)
5. \( i(x)= \dfrac{1}{3}x^3 \)

Übung 3: Summenregel

1. \( f(x) = x + 2 \)
2. \( g(x) = 2x + 3 \)
3. \( h(x) = x^2 - 4x \)
4. \( i(x) = x^3 + x^2 - x \)

Übung 4: Kettenregel

1. \( f(x) = (x^2 + 1)^2 \)
2. \( g(x) = e^{2x} \)
3. \( h(x) = \ln(x^2 + 1) \)
4. \( i(x) = \sin(x^2) \)

Übung 5: Produktregel

1. \( f(x) = (x+1)(x-2) \)
2. \( g(x) = x^2 \cdot e^x \)
3. \( h(x) = \ln(x) \cdot \sin(x) \)
4. \( i(x) = e^{2x} \cdot \cos(x) \)

Übung 6: Quotientenregel

1. \( f(x) = \dfrac{x^2}{x+1} \)
2. \( g(x) = \dfrac{\sin(x)}{x^2} \)
3. \( h(x)= \dfrac{\ln(x)}{x} \)
4. \( i(x) = \dfrac{e^x}{x^2 + 1} \)

Übung 7: Gemischte Aufgaben

1. \( f(x) = (x^2 + 1)e^x \)
2. \( g(x) = \dfrac{\sin(x)}{x^2+1} \)
3. \( h(x)= (3x^2 + 2x)e^{2x} \)
4. \( i(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x+2} \)

Lösungen

Lösung 1: Potenzregel

1. \( f'(x) = 3x^2\) 2. \( g'(x) = 2x \)
3. \( h'(x) = 5x^4 \) 4. \( i'(x) = 1 \)

Lösung 2: Faktorregel

1. \( f'(x)= 3 \)
2. \( g'(x)= 4x \)
4. \( h'(x)= 12x^2 \)
5. \( i'(x)= x^2 \)

Lösung 3: Summenregel

1. \( f'(x) = 1\)
2. \( g'(x) = 2 \)
3. \( h'(x) = 2x - 4 \)
4. \( i'(x) = 3x^2 + 2x - 1 \)

Lösung 4: Kettenregel

1. \( f'(x) = 4x(x^2 + 1) \)
2. \( g'(x) = 2e^{2x} \)
3. \( h'(x) = \dfrac{2x}{1+x^2} \)
4. \( i'(x) = 2x \cos(x^2) \)

Lösung 5: Produktregel

1. \( f'(x) = 2x+1 \)
2. \( g'(x) = e^xx(x+2) \)
3. \( h'(x) = \dfrac{sin(x)}{x}+ln(x) \cos(x) \)
4. \( i'(x) = e^{2x} \ (2cos(x)-sin(x)) \)

Lösung 6: Quotientenregel

1. \( f'(x) = \dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2} \)
2. \( g'(x) = \dfrac{xcos(x)-2sin(x)}{x^3} \)
3. \( h'(x)= \dfrac{1-\ln(x)}{x^2} \)
4. \( i'(x) = \dfrac{e^x \ (x-1)^2}{(x^2 + 1)^2} \)

Lösung 7: Gemischte Aufgaben

1. \( f(x) = e^x(x+1)^2 \)
2. \( g'(x) = \dfrac{(x^2+1)\cos(x)-2xsin(x)}{(x^2+1)^2} \)
3. \( h'(x)= 2e^{2x}(3x^2+5x+1) \)
4. \( i'(x) = \dfrac{x^2 + 4x - 1}{(x+2)^2} \)

Weiterführende Informationen zu Ableitungsregeln

Ableitungsregeln als Grundlage der Differentialrechnung
Die Ableitungsregeln sind essenzielle Werkzeuge in der Mathematik, die dir ermöglichen, Funktionen effizient und präzise abzuleiten. Egal, ob du den Verlauf einer Funktion analysierst oder physikalische Größen wie Geschwindigkeit oder Beschleunigung berechnest, die Ableitungsregeln bilden das Fundament für viele Anwendungen. Sie machen es möglich, selbst komplexe Funktionen Schritt für Schritt zu zerlegen und ihre Steigung oder Änderungsrate zu bestimmen.

Was sind Ableitungsregeln?
Ableitungsregeln sind feste mathematische Vorgaben, die dir sagen, wie du bestimmte Arten von Funktionen ableiten kannst. Sie helfen dir, systematisch vorzugehen und Fehler zu vermeiden. Zum Beispiel gibt es Regeln für Summen, Produkte, Quotienten oder verkettete Funktionen. Sie erleichtern die Arbeit und sorgen dafür, dass auch komplizierte Funktionen mit überschaubarem Aufwand abgeleitet werden können.

Wichtige Ableitungsregeln im Überblick
Es gibt mehrere grundlegende Ableitungsregeln, die du kennen solltest:

  1. Die Konstantenregel: Konstanten verschwinden bei der Ableitung, da sie keine Änderungsrate haben.
  2. Die Potenzregel: Funktionen mit Potenzen lassen sich mit einer einfachen Regel ableiten, indem der Exponent reduziert wird.
  3. Die Summenregel: Wenn zwei oder mehr Funktionen addiert werden, kannst du die Ableitung auf jede einzelne Funktion anwenden.
  4. Die Produktregel: Für Produkte von Funktionen gibt es eine eigene Regel, die beide Funktionen berücksichtigt.
  5. Die Quotientenregel: Bei der Ableitung von Brüchen sorgt diese Regel für korrekte Ergebnisse.
  6. Die Kettenregel: Verschachtelte Funktionen erfordern die Anwendung der Kettenregel, um sie richtig abzuleiten.

Tipps zum Anwenden der Ableitungsregeln

  • Identifiziere den Funktionstyp: Stelle sicher, dass du die Art der Funktion erkennst (z. B. Produkt, Quotient oder Verkettung).
  • Kombiniere die Regeln geschickt: Viele Aufgaben erfordern die Kombination von zwei oder mehr Ableitungsregeln.
  • Übung macht den Meister: Arbeite regelmäßig an Aufgaben, um den Umgang mit den Regeln zu automatisieren.

Die Bedeutung der Ableitungsregeln in der Praxis
Ableitungsregeln sind nicht nur ein Werkzeug für theoretische Mathematik. Sie finden Anwendung in der Physik, Wirtschaft, Technik und vielen anderen Bereichen. Ob es darum geht, optimale Lösungen zu finden, Systeme zu steuern oder komplexe Daten zu analysieren – ohne Ableitungsregeln wären viele dieser Fortschritte nicht möglich.

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