Wie geht Ableiten?
Tipps & Tricks beim Ableiten
Lisa von onmathe •
Jan. 23, 2024
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In diesem Beitrag zeigen wir dir die wichtigsten Sonderfälle, die dir beim Ableiten begegnen können. Du bekommst von uns Tipps und Tricks, wie du damit umgehen kannst.
Merke
\( f(x)=x^1 \rightarrow f'(x)=1 \)
\( \dfrac{1}{x^{\textcolor{green}{n}}} = x^{\textcolor{orangered}{-n}}\)
\({\textcolor{orangered}{\sqrt{\textcolor{black}{x}}}}=x^{\textcolor{orangered}{\large\frac{1}{2}}}\)
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Der Exponent fehlt
\(f(x)=x\)
Und wie leiten wir ab, wenn es keinen Exponenten gibt? Du solltest beachten, dass es immer einen Exponenten gibt - manchmal muss man nur genauer hinsehen:
\(f(x)=x^{\textcolor{orangered}{1}}\)
Und jetzt, da wir einen Exponenten haben, können wir die Potenzregel anwenden und ableiten.
\(f'(x)={\textcolor{orangered}{1}}x^{\textcolor{orangered}
{1}\textcolor{green}{-1}}\)
\(f'(x)={\textcolor{orangered}{1}}x^{\textcolor{orangered}{0}}\)
\(f'(x)=\textcolor{orangered}{1}\)
Dazu müssen wir uns anschauen, was beim Ableiten mit dem Exponenten passiert. Wie du siehst steht dort in der Ableitung eine Null. Schauen wir uns das doch genauer an, indem wir den Taschenrechner verwenden:
\(127^0=1\)
\(0,16534^0=1\)
\((\dfrac{7}{25})^0=1\)
\((-6)^0=1\)
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Das x steht im Nenner
\(f(x)=\dfrac{1}{x^{\textcolor{green}{2}}}\)
Steht das x ausschließlich im Nenner eines Bruchs, ist eine direkte Ableitung nicht möglich. Um das x aus dem Nenner herauszuholen, nutzen wir einen Trick:
\(\dfrac{1}{x^{\textcolor{green}{2}}} = x^{\textcolor{orangered}{-2}}\)
Zur Verdeutlichung folgen hier noch einige Beispiele:
\(\dfrac{1}{x^{\textcolor{green}{4}}}=x^{\textcolor{orangered}{-4}}\)
\(\dfrac{2}{x^{\textcolor{green}{3}}}=2x^{\textcolor{orangered}{-3}}\)
\(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x^{\textcolor{green}{1}}}=x^{\textcolor{orangered}{-1}}\)
\(f(x)=x^{\textcolor{orangered}{-2}}\)
\(f'(x)=\textcolor{orangered}{-2}x^{\textcolor{orangered}{-2}\textcolor{green}{-1}}\)
\(f'(x)=\textcolor{orangered}{-2}x^{-3}\)
\(f(x)={\textcolor{orangered}{-2}}x^{\textcolor{orangered}{-3}}\)
\(f'(x)=-\dfrac{{\textcolor{orangered}{2}}}{x^{\textcolor{green}{3}}}\)
Wenn das x unter einer Wurzel steht
\(f(x)=\sqrt{x}\)
Auch hier scheint der Exponent zu fehlen und wir können die Potenzregel noch nicht anwenden. Aber wieder gibt es einen einfachen Trick, den du kennen solltest.
\({\color{orangered}{\sqrt{{\textcolor{black}{x}}}}}=x^{\textcolor{orangered}{\large\frac{1}{2}}}\)
Diese Umformung gilt nicht nur für unser Beispiel, sondern für alle Wurzeln, ganz egal, was darunter steht:
\({\color{orangered}{\sqrt{{\textcolor{black}{...}}}}}=(...)^{\textcolor{orangered}{\frac{1}{2}}}\)
So umgeformt ist es wieder möglich von der Potenzregel gebrauch zu machen und die Funktion abzuleiten.
\(f(x)=x^{\textcolor{orangered}{\large\frac{1}{2}}}\)
\(f'(x)={\textcolor{orangered}{\dfrac{1}{2}}}x^{{\textcolor{orangered}{\large{\frac{1}{2}}}}{\textcolor{green}{-1}}}\)
\(f'(x)={\textcolor{orangered}{\dfrac{1}{2}}}x^{\textcolor{orangered}{-\large\frac{1}{2}}}\)
1. Schritt:
\({\textcolor{orangered}{\dfrac{1}{2}}}x^{\textcolor{orangered}{-\large\frac{1}{2}}}=\dfrac{1}{{\textcolor{orangered}{2}}x^{\textcolor{orangered}{\large\frac{1}{2}}}}\)
2. Schritt:
\(\dfrac{1}{{\textcolor{orangered}{2}}x^{\textcolor{orangered}{\large\frac{1}{2}}}}=\dfrac{1}{\color{orangered}{{\textcolor{orangered}{2}}\sqrt{{\textcolor{black}{x}}}}}\)
\(f'(x)=\dfrac{1}{\color{orangered}{\textcolor{orangered}{2}\sqrt{\textcolor{black}{x}}}}\)
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