Tipps und Tricks beim Ableiten: Umformungen und Sonderfälle

Wie geht ableiten?

Tipps & Tricks beim Ableiten

Lisa von onmathe • Jan. 23, 2024
Tipps & Tricks beim Ableiten

In diesem Beitrag zeigen wir dir die wichtigsten Sonderfälle, die dir beim Ableiten begegnen können. Du bekommst von uns Tipps und Tricks, wie du damit umgehen kannst.

Merke
\( f(x)=x^1 \rightarrow f'(x)=1 \)
\(\dfrac{1}{x^\textcolor{green}{n}} = x^\textcolor{orangered}{-n}\)
\({\color{orangered}{\sqrt{\textcolor{black}{x}}}}=x^\textcolor{orangered}{\large\frac{1}{2}}\)

Der Exponent fehlt

\(f(x)=x\)
Und wie leiten wir ab, wenn es keinen Exponenten gibt? Du solltest beachten, dass es immer einen Exponenten gibt - manchmal muss man nur genauer hinsehen:
\(f(x)=x^\textcolor{orangered}{1}\)
Und jetzt, da wir einen Exponenten haben, können wir die Potenzregel anwenden und ableiten.
\(f'(x)=\textcolor{orangered}{1}x^{\textcolor{orangered} {1}\textcolor{green}{-1}}\)
\(f'(x)=\textcolor{orangered}{1}x^\textcolor{orangered}{0}\)
\(f'(x)=\textcolor{orangered}{1}\)
Fertig! Aber wohin ist das \(\textbf{x}\) verschwunden?
Dazu müssen wir uns anschauen, was beim Ableiten mit dem Exponenten passiert. Wie du siehst steht dort in der Ableitung eine Null. Schauen wir uns das doch genauer an, indem wir den Taschenrechner verwenden:
\(127^0=1\)
\(0,16534^0=1\)
\((\dfrac{7}{25})^0=1\)
\((-6)^0=1\)
Völlig egal wie sehr du dich auch anstrengst, jede Zahl (außer Null selbst) hoch Null ergibt 1. Und da unser \(x\) nichts anderes als eine beliebige Zahl ist, ergibt sich auch \(x^0=1\)

Das x steht im Nenner

\(f(x)=\dfrac{1}{x^\textcolor{green}{2}}\)
Steht das x ausschließlich im Nenner eines Bruchs, ist eine direkte Ableitung nicht möglich. Um das x aus dem Nenner herauszuholen, nutzen wir einen Trick:
\(\dfrac{1}{x^\textcolor{green}{2}} = x^\textcolor{orangered}{-2}\)
Wie du siehst, ist es möglich, einen solchen Bruch umzuschreiben, indem der Exponent des Nenners negativ gemacht und so in den Zähler gezogen wird.
Zur Verdeutlichung folgen hier noch einige Beispiele:
\(\dfrac{1}{x^\textcolor{green}{4}}=x^\textcolor{orangered}{-4}\)
\(\dfrac{2}{x^\textcolor{green}{3}}=2x^\textcolor{orangered}{-3}\)
\(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x^\textcolor{green}{1}}=x^\textcolor{orangered}{-1}\)
Kehren wir nun zu unserem Beispiel zurück, welches wir nach der Umformung ableiten können.
\(f(x)=x^\textcolor{orangered}{-2}\)
\(f'(x)=\textcolor{orangered}{-2}x^{\textcolor{orangered}{-2}\textcolor{green}{-1}}\)
\(f'(x)=\textcolor{orangered}{-2}x^{-3}\)
Die soeben erlente Umformung, funktioniert genauso in umgekehrter Richtung. Wir wenden dies noch an und dann ist die Ableitung vollständig.
\(f(x)=\textcolor{orangered}{-2}x^\textcolor{orangered}{-3}\)
\(f'(x)=-\dfrac{\textcolor{orangered}{2}}{x^\textcolor{green}{3}}\)

Wenn das x unter einer Wurzel steht

\(f(x)=\sqrt{x}\)
Auch hier scheint der Exponent zu fehlen und wir können die Potenzregel noch nicht anwenden. Aber wieder gibt es einen einfachen Trick, den du kennen solltest.

\({\color{orangered}{\sqrt{\textcolor{black}{x}}}}=x^\textcolor{orangered}{\large\frac{1}{2}}\)
Diese Umformung gilt nicht nur für unser Beispiel, sondern für alle Wurzeln, ganz egal, was darunter steht:
\({\color{orangered}{\sqrt{\textcolor{black}{...}}}}=(...)^\textcolor{orangered}{\frac{1}{2}}\)
So umgeformt ist es wieder möglich von der Potenzregel gebrauch zu machen und die Funktion abzuleiten.
\(f(x)=x^\textcolor{orangered}{\large\frac{1}{2}}\)
\(f'(x)=\textcolor{orangered}{\dfrac{1}{2}}x^{\large\textcolor{orangered}{\frac{1}{2}}\textcolor{green}{-1}}\)
\(f'(x)=\textcolor{orangered}{\dfrac{1}{2}}x^\textcolor{orangered}{-\large\frac{1}{2}}\)
Um die Umformung dieser Ableitung wieder umzukehren, müssen wir in zwei Schritten arbeiten.
1. Schritt:
\(\textcolor{orangered}{\dfrac{1}{2}}x^\textcolor{orangered}{-\large\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\textcolor{orangered}{2}x^\textcolor{orangered}{\large\frac{1}{2}}}\)
Wir nutzen hier die Umformung, die wir im vorangegangenen Beispiel gelernt haben.
2. Schritt:
\(\dfrac{1}{\textcolor{orangered}{2}x^\textcolor{orangered}{\large\frac{1}{2}}}=\dfrac{1}{\color{orangered}{\textcolor{orangered}{2}\sqrt{\textcolor{black}{x}}}}\)
Nach diesen beiden Umformungen ist die Ableitung vollständig:
\(f'(x)=\dfrac{1}{\color{orangered}{\textcolor{orangered}{2}\sqrt{\textcolor{black}{x}}}}\)