Rechenregeln im Überblick

Potenzgesetze

Lisa von onmathe • Juni 28, 2024
Potenzgesetze

Findest du auch, dass Potenzgesetze wahnsinnig kompliziert aussehen? Das muss nicht sein. Wir führen dich an einfachen Beispielen durch alle PotenzgesetzeAm Ende findest du Übungsaufgaben um dich selbst zu testen.
Gleiche Basis
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert, und die Basis beibehält.
\( {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{n}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m+n}} \)
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert, und die Basis beibehält.
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}}{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{n}}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m-n}} \)
Gleicher Exponent
Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert, und den Exponenten beibehält.
\( {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{b}}^{\textcolor{green}{m}} = ({\textcolor{orange}{a \cdot b}})^{\textcolor{green}{m}} \)
Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert, und den Exponenten beibehält.
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}}{{\textcolor{orange}{b}}^{\textcolor{green}{m}}} = \left({\textcolor{orange}{\dfrac{a}{b}}}\right)^{\textcolor{green}{m}} \)
Potenzen potenzieren
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert, und die Basis beibehält.
\( ({\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}})^{\textcolor{green}{n}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m \cdot n}}\)

Was sind Potenzen?

Zunächst betrachten wir, was Potenzen sind und wie sie gebildet werden. Nehmen wir einmal die folgende Rechnung:
\(\textcolor{orange}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\)
Ganz schön viele Dreier, oder? Konntest du zählen, wie oft wir hier die \(3\) multiplizieren müssen? Mühsam, oder? Und wie schnell schleichen sich dabei Fehler ein..
Und genau dafür haben wir die Potenzen. Wir zählen einmal genau nach, wie oft die \(3\) multipliziert wird und schauen, wie wir das in einer Potenz schreiben.
\(\underbrace{\textcolor{orange}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}}_{\textcolor{green}{7}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{7}}\)
Die Zahl, die mehrfach multipliziert wird, bildet die Basis der Potenz.
Die Anzahl, wie oft diese Zahl multipliziert wird, bildet den Exponenten der Potenz.
Merke
\(\underbrace{{\textcolor{orange}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \ ...}}}_{{\textcolor{green}{m}}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}\)
Eine Potenz setzt sich zusammen aus Basis und Exponent.
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Potenzen mit gleicher Basis

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert, und die Basis beibehält.
Beispiele
\( {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{2}} \cdot {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{6}} = {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{2+6}} = {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{8}} \)
\( {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-1}} \cdot {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{4}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-1+4}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{3}} \)
\( {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{5}} \cdot {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{-3}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{5+(-3)}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{2}} \)
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert, und die Basis beibehält.
Beispiele
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{7}}}{{\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{3}}} = {\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{7-3}} = {\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{4}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{5}}}{{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{2}}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{5-2}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{3}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{2}}}{{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{-4}}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{2-(-4)}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{6}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{y}}^{\textcolor{green}{-4}}}{{\textcolor{orange}{y}}^{\textcolor{green}{2}}} = {\textcolor{orange}{y}}^{\textcolor{green}{-4-2}} = {\textcolor{orange}{y}}^{\textcolor{green}{-6}} \)
Schau dir die Beispiele ganz in Ruhe an. Sie zeigen verschiedene Situationen, die beim multiplizieren und dividieren von Potenzen mit gleicher Basis auftreten können.
Merke
\( {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{n}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m+n}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}}{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{n}}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m-n}} \)

Potenzen mit gleichem Exponenten

Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert, und den Exponenten beibehält.
Beispiele
\( {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{3}} \cdot {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{3}} = {\textcolor{orange}{(2 \cdot 4)}}^{\textcolor{green}{3}} = {\textcolor{orange}{8}}^{\textcolor{green}{3}} \)
\( {\textcolor{orange}{(-3)}}^{\textcolor{green}{2}} \cdot {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{2}} = {\textcolor{orange}{((-3) \cdot 2 )}}^{\textcolor{green}{2}} = {\textcolor{orange}{(-6)}}^{\textcolor{green}{2}} \)
\( {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{x}} \cdot {\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{x}} = {\textcolor{orange}{(4 \cdot 5)}}^{\textcolor{green}{x}} = {\textcolor{orange}{20}}^{\textcolor{green}{x}} \)
Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert, und den Exponenten beibehält.
Beispiele
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{7}}}{{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{7}}} = {\textcolor{orange}{\left(\dfrac{4}{2}\right)}}^{\textcolor{green}{7}} = {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{7}} \)
\( {\textcolor{orange}{10}}^{\textcolor{green}{y}} : {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{orange}{\left(10 : 2 \right)}}^{\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{y}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{12}}^{\textcolor{green}{2}}}{{\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{2}}} = {\textcolor{orange}{\left(\dfrac{12}{4}\right)}}^{\textcolor{green}{2}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{2}} \)
Lass dich beim Dividieren nicht verunsichern. Es macht für deine Rechnung keinen Unterschied, ob die Division in einem Bruch oder mit dem Rechenzeichen : dargestellt ist.
Merke
\( {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{b}}^{\textcolor{green}{m}} = ({\textcolor{orange}{a \cdot b}})^{\textcolor{green}{m}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}}{{\textcolor{orange}{b}}^{\textcolor{green}{m}}} = \left({\textcolor{orange}{\dfrac{a}{b}}}\right)^{\textcolor{green}{m}} \)
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Potenzen potenzieren

Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert, und die Basis beibehält.
Beispiele
\(({\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{3}})^{\textcolor{green}{2}} = {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{3 \cdot 2}} = {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{6}}\)
\(({\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-2}})^{\textcolor{green}{4}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{(-2) \cdot 4}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-8}}\)
\(({\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{-1}})^{\textcolor{green}{-3}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{(-1) \cdot (-3)}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{3}}\)
Du solltest bei allen Potenzgesetzen darauf achten, die Vorzeichen der Exponenten korrekt in die Berechnung einzubeziehen.
Merke
\( ({\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}})^{\textcolor{green}{n}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m \cdot n}}\)

Besonderheiten

Es gibt ein Paar Tricks und Kniffe, die du im Umgang mit Potenzen kennen solltest und die dir die Rechnungen erleichtern.

Was passiert, wenn eine Potenz Null im Exponenten stehen hat siehst du, wenn du einmal verschiedene solcher Potenzen in den Taschenrechner eingibst.
Null im Exponenten
\(127^0=1\)
\(0,16534^0=1\)
\((\dfrac{7}{25})^0=1\)
\((-6)^0=1\)
Wie sehr du dich auch anstrengst, jede Zahl (außer Null selbst) hoch Null ergibt 1.

Kein Exponent, oder?
\(14=14^1=14\)
\(0,234=0,234^1=0,234\)
\(\dfrac{1}{6}=(\dfrac{1}{6})^1=\dfrac{1}{6}\)
\(-6=(-6)^1=-6\)
Steht im Exponenten scheinbar keine Zahl, so steht dort doch immer eine Eins. Das Ergebnis einer solchen Potenz ist immer die Zahl selbst.

Auch bei Wurzeltermen kannst du die Potenzgesetze nutzen. Du brauchst lediglich einen kleinen Trick, um die Wurzel in eine Potenz umzuwandeln.
Wurzeln und Potenzen
\( \sqrt{\textcolor{orange}{4}} = \textcolor{orange}{4}^\frac{1}{2}\)
\( \sqrt[\textcolor{orangered}{3}]{\textcolor{orange}{2}} = \textcolor{orange}{2}^\frac{1}{\textcolor{orangered}{3}}\)
\( \sqrt[{\textcolor{orangered}{4}}]{{\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{blue}{3}}} = {\textcolor{orange}{5}}^\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{orangered}{4}}\)
Schreibst du eine Wurzel als Potenz, entsteht im Exponenten der Potenz ein Bruch. Dabei bildet der Exponent der Zahl unter der Wurzel den Zähler, und der Nenner gibt an, die wievielte Wurzel gezogen wurde.
Das ganze Funktioniert ebenso in die andere Richtung, wenn du eine Potenz mit Bruch im Exponenten in eine Wurzel umwandeln möchtest.
Merke
\( \sqrt[{\textcolor{orangered}{a}}]{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{blue}{b}}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\frac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{orangered}{a}}}\)
Was du tun kannst, wenn eine Potenz einen negativen Exponenten hat, siehst du hier.
Negativer Exponent
\( {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{-3}} = \dfrac{1}{{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{3}}}\)
\( {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-2}} = \dfrac{1}{{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{2}}}\)
\( 4 \cdot {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-5}} = \dfrac{4}{{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{5}}}\)
Hat eine Potenz einen negativen Exponenten, schreibst du die Basis der Potenz in den Nenner eines Bruchs. Den Exponenten nimmst du dabei mit, er wird dadurch jedoch positiv. Du kannst auf diese Weise auch Potenzen in einem Bruch umschreiben in Potenzen mit negativem Exponenten.
Merke
\( {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-a}} = \dfrac{1}{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{a}}\)
Lässt du auch gerne Klammern weg in Rechnungen? Wer braucht die schon, sind doch nicht wichtig, oder etwa doch?
Klammern - so wichtig!
\(-4^2 = -4 \cdot 4 = -16\)
\((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\)
\(-2^5 = -2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2= -32\)
\((-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32\)
\(-5^4 = -5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5= -625\)
\((-5)^4 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 625\)
Klammern sind wichtig. Sie definieren ganz klar, was alles potenziert wird. Das macht dann einen großen Unterschied für das Vorzeichen des Ergebnisses.

Aufgaben

Potenzen mit gleicher Basis

\( 2^3 \cdot 2^5 \) \( x^6 \cdot x^{-4} \)
\( \dfrac{3^6}{3^4} \) \( y^{-2} : y^3 \)

Potenzen mit gleichem Exponenten

\( 4^3 \cdot 6^3 \) \( 2^8 \cdot (-3)^8 \)
\( \dfrac{12^x}{3^x} \) \( 8^5 : 4^5 \)

Potenzen potenzieren

\( (4^3)^2 \) \( (x^{-2})^4 \)
\( (6^5)^{-1} \) \( (y^7)^3 \)

Aufgaben

Potenzen mit gleicher Basis

\( 2^8 \) \( x^2 \)
\( 3^2 \) \( y^{-5} \)

Potenzen mit gleichem Exponenten

\( 24^3 \) \( (-6)^8 \)
\( 4^x \) \( 2^5 \)

Potenzen potenzieren

\( 4^6 \) \( x^{-8}\)
\( 6^{-5} \) \( y^{21} \)