Rechenregeln im Überblick
Potenzgesetze
Lisa von onmathe •
Juni 28, 2024
Findest du auch, dass Potenzgesetze wahnsinnig kompliziert aussehen? Das muss nicht sein. Wir führen dich an einfachen Beispielen durch alle Potenzgesetze. Am Ende findest du Übungsaufgaben um dich selbst zu testen.
Gleiche Basis
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert, und die Basis beibehält.
\( {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{n}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m+n}} \)
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert, und die Basis beibehält.
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}}{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{n}}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m-n}} \)
Gleicher Exponent
Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert, und den Exponenten beibehält.
\( {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{b}}^{\textcolor{green}{m}} = ({\textcolor{orange}{a \cdot b}})^{\textcolor{green}{m}} \)
Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert, und den Exponenten beibehält.
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}}{{\textcolor{orange}{b}}^{\textcolor{green}{m}}} = \left({\textcolor{orange}{\dfrac{a}{b}}}\right)^{\textcolor{green}{m}} \)
Potenzen potenzieren
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert, und die Basis beibehält.
\( ({\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}})^{\textcolor{green}{n}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m \cdot n}}\)
Das erwartet dich
Unser Inhaltsverzeichnis
- Was sind Potenzen
- Potenzen mit gleicher Basis
- Potenzen mit gleichem Exponenten
- Potenzen potenzieren
- Besonderheiten
- Aufgaben
- Lösungen
- Potenzgesetze – die Grundregeln der Exponentialrechnung
- Was sind die Potenzgesetze?
- Anwendungsbereiche der Potenzgesetze
- Häufige Fehler vermeiden
- Tipps für den sicheren Umgang mit Potenzgesetzen
- Die Bedeutung der Potenzgesetze in der Praxis
Was sind Potenzen?
Zunächst betrachten wir, was Potenzen sind und wie sie gebildet werden. Nehmen wir einmal die folgende Rechnung:\(\textcolor{orange}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\)
Und genau dafür haben wir die Potenzen. Wir zählen einmal genau nach, wie oft die \(3\) multipliziert wird und schauen, wie wir das in einer Potenz schreiben.
\(\underbrace{\textcolor{orange}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}}_{\textcolor{green}{7}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{7}}\)
Die Anzahl, wie oft diese Zahl multipliziert wird, bildet den Exponenten der Potenz.
Merke
\(\underbrace{{\textcolor{orange}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \ ...}}}_{{\textcolor{green}{m}}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}\)
Eine Potenz setzt sich zusammen aus Basis und Exponent.
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Potenzen mit gleicher Basis
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert, und die Basis beibehält.Beispiele
\( {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{2}} \cdot {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{6}} = {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{2+6}} = {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{8}} \)
\( {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-1}} \cdot {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{4}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-1+4}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{3}} \)
\( {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{5}} \cdot {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{-3}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{5+(-3)}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{2}} \)
Beispiele
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{7}}}{{\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{3}}} = {\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{7-3}} = {\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{4}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{5}}}{{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{2}}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{5-2}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{3}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{2}}}{{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{-4}}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{2-(-4)}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{6}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{y}}^{\textcolor{green}{-4}}}{{\textcolor{orange}{y}}^{\textcolor{green}{2}}} = {\textcolor{orange}{y}}^{\textcolor{green}{-4-2}} = {\textcolor{orange}{y}}^{\textcolor{green}{-6}} \)
Merke
\( {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{n}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m+n}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}}{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{n}}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m-n}} \)
Potenzen mit gleichem Exponenten
Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert, und den Exponenten beibehält.Beispiele
\( {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{3}} \cdot {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{3}} = {\textcolor{orange}{(2 \cdot 4)}}^{\textcolor{green}{3}} = {\textcolor{orange}{8}}^{\textcolor{green}{3}} \)
\( {\textcolor{orange}{(-3)}}^{\textcolor{green}{2}} \cdot {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{2}} = {\textcolor{orange}{((-3) \cdot 2 )}}^{\textcolor{green}{2}} = {\textcolor{orange}{(-6)}}^{\textcolor{green}{2}} \)
\( {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{x}} \cdot {\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{x}} = {\textcolor{orange}{(4 \cdot 5)}}^{\textcolor{green}{x}} = {\textcolor{orange}{20}}^{\textcolor{green}{x}} \)
Beispiele
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{7}}}{{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{7}}} = {\textcolor{orange}{\left(\dfrac{4}{2}\right)}}^{\textcolor{green}{7}} = {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{7}} \)
\( {\textcolor{orange}{10}}^{\textcolor{green}{y}} : {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{orange}{\left(10 : 2 \right)}}^{\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{y}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{12}}^{\textcolor{green}{2}}}{{\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{2}}} = {\textcolor{orange}{\left(\dfrac{12}{4}\right)}}^{\textcolor{green}{2}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{2}} \)
Merke
\( {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{b}}^{\textcolor{green}{m}} = ({\textcolor{orange}{a \cdot b}})^{\textcolor{green}{m}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}}{{\textcolor{orange}{b}}^{\textcolor{green}{m}}} = \left({\textcolor{orange}{\dfrac{a}{b}}}\right)^{\textcolor{green}{m}} \)
Zeit für Nachhilfe, die funktioniert
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Potenzen potenzieren
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert, und die Basis beibehält.Beispiele
\(({\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{3}})^{\textcolor{green}{2}} = {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{3 \cdot 2}} = {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{6}}\)
\(({\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-2}})^{\textcolor{green}{4}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{(-2) \cdot 4}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-8}}\)
\(({\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{-1}})^{\textcolor{green}{-3}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{(-1) \cdot (-3)}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{3}}\)
Merke
\( ({\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}})^{\textcolor{green}{n}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m \cdot n}}\)
Besonderheiten
Es gibt ein Paar Tricks und Kniffe, die du im Umgang mit Potenzen kennen solltest und die dir die Rechnungen erleichtern. Was passiert, wenn eine Potenz Null im Exponenten stehen hat siehst du, wenn du einmal verschiedene solcher Potenzen in den Taschenrechner eingibst.Null im Exponenten
\(127^0=1\)
\(0,16534^0=1\)
\((\dfrac{7}{25})^0=1\)
\((-6)^0=1\)
Kein Exponent, oder?
\(14=14^1=14\)
\(0,234=0,234^1=0,234\)
\(\dfrac{1}{6}=(\dfrac{1}{6})^1=\dfrac{1}{6}\)
\(-6=(-6)^1=-6\)
Wurzeln und Potenzen
\( \sqrt{\textcolor{orange}{4}} = \textcolor{orange}{4}^\frac{1}{2}\)
\( \sqrt[\textcolor{orangered}{3}]{\textcolor{orange}{2}} = \textcolor{orange}{2}^\frac{1}{\textcolor{orangered}{3}}\)
\( \sqrt[{\textcolor{orangered}{4}}]{{\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{blue}{3}}} = {\textcolor{orange}{5}}^\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{orangered}{4}}\)
Das ganze Funktioniert ebenso in die andere Richtung, wenn du eine Potenz mit Bruch im Exponenten in eine Wurzel umwandeln möchtest.
Merke
\( \sqrt[{\textcolor{orangered}{a}}]{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{blue}{b}}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\frac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{orangered}{a}}}\)
Negativer Exponent
\( {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{-3}} = \dfrac{1}{{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{3}}}\)
\( {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-2}} = \dfrac{1}{{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{2}}}\)
\( 4 \cdot {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-5}} = \dfrac{4}{{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{5}}}\)
Merke
\( {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-a}} = \dfrac{1}{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{a}}\)
Klammern - so wichtig!
\(-4^2 = -4 \cdot 4 = -16\)
\((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\)
\(-2^5 = -2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2= -32\)
\((-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32\)
\(-5^4 = -5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5= -625\)
\((-5)^4 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 625\)
Aufgaben
Potenzen mit gleicher Basis
| \( 2^3 \cdot 2^5 \) | \( x^6 \cdot x^{-4} \) |
| \( \dfrac{3^6}{3^4} \) | \( y^{-2} : y^3 \) |
Potenzen mit gleichem Exponenten
| \( 4^3 \cdot 6^3 \) | \( 2^8 \cdot (-3)^8 \) |
| \( \dfrac{12^x}{3^x} \) | \( 8^5 : 4^5 \) |
Potenzen potenzieren
| \( (4^3)^2 \) | \( (x^{-2})^4 \) |
| \( (6^5)^{-1} \) | \( (y^7)^3 \) |
Aufgaben
Potenzen mit gleicher Basis
| \( 2^8 \) | \( x^2 \) |
| \( 3^2 \) | \( y^{-5} \) |
Potenzen mit gleichem Exponenten
| \( 24^3 \) | \( (-6)^8 \) |
| \( 4^x \) | \( 2^5 \) |
Potenzen potenzieren
| \( 4^6 \) | \( x^{-8}\) |
| \( 6^{-5} \) | \( y^{21} \) |
Weiterführende Informationen zu den Potenzgesetzen
Potenzgesetze – die Grundregeln der Exponentialrechnung
Die Potenzgesetze sind fundamentale Regeln in der Mathematik, die den Umgang mit Potenzen erheblich vereinfachen. Sie ermöglichen es, Ausdrücke mit Potenzen effizient zu berechnen und zu vereinfachen. Von der Multiplikation bis zur Division und sogar bei der Potenzierung von Potenzen helfen dir diese Gesetze, selbst komplizierte Terme systematisch zu lösen.
Was sind die Potenzgesetze?
Die Potenzgesetze sind ein Satz von Regeln, die beschreiben, wie man mit Potenzen rechnet. Sie gelten für alle Basen und Exponenten, solange die Grundbedingungen erfüllt sind (z. B. keine Division durch null). Hier sind die wichtigsten Gesetze:
- Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: Addiere die Exponenten.
- Division von Potenzen mit gleicher Basis: Subtrahiere die Exponenten.
- Potenzieren von Potenzen: Multipliziere die Exponenten.
- Potenzen mit Exponent null: Jede Zahl außer null hoch null ist eins.
- Negative Exponenten: Sie entsprechen dem Kehrwert der Basis mit positivem Exponenten.
Anwendungsbereiche der Potenzgesetze
Die Potenzgesetze sind in vielen mathematischen und praktischen Bereichen unverzichtbar. Sie helfen bei der Vereinfachung von Termen in der Algebra, bei der Berechnung von Wachstums- oder Zerfallsprozessen in der Physik und Chemie sowie in der Informatik, wo Exponentialoperationen eine zentrale Rolle spielen.
Häufige Fehler vermeiden
- Verwechslung der Reihenfolge: Beim Multiplizieren oder Dividieren darfst du die Exponenten nicht vertauschen.
- Falscher Umgang mit negativen Exponenten: Sie sind oft verwirrend, aber sie bedeuten einfach, dass du den Kehrwert der Basis bildest.
- Basen verwechseln: Die Regeln gelten nur für gleiche Basen. Unterschiedliche Basen erfordern andere Rechenwege.
Tipps für den sicheren Umgang mit Potenzgesetzen
- Schreibe die einzelnen Schritte aus, um Verwechslungen zu vermeiden.
- Übe regelmäßig mit Aufgaben, die die verschiedenen Gesetze kombinieren.
- Veranschauliche dir die Gesetze mit Beispielen, um sie besser zu verstehen.
Die Bedeutung der Potenzgesetze in der Praxis
Die Potenzgesetze sind nicht nur in der Mathematik von Bedeutung. Sie finden Anwendung in Naturwissenschaften, Wirtschaft und Technik. Ob es darum geht, Wachstumsraten zu berechnen, elektrische Spannungen zu analysieren oder computerbasierte Algorithmen zu optimieren – die Potenzgesetze sind ein universelles Werkzeug.
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