Rechenregeln im Überblick
Potenzgesetze
Lisa von onmathe •
Juni 28, 2024
Findest du auch, dass Potenzgesetze wahnsinnig kompliziert aussehen? Das muss nicht sein. Wir führen dich an einfachen Beispielen durch alle Potenzgesetze. Am Ende findest du Übungsaufgaben um dich selbst zu testen.
Gleiche Basis
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert, und die Basis beibehält.
\( {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{n}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m+n}} \)
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert, und die Basis beibehält.
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}}{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{n}}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m-n}} \)
Gleicher Exponent
Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert, und den Exponenten beibehält.
\( {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{b}}^{\textcolor{green}{m}} = ({\textcolor{orange}{a \cdot b}})^{\textcolor{green}{m}} \)
Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert, und den Exponenten beibehält.
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}}{{\textcolor{orange}{b}}^{\textcolor{green}{m}}} = \left({\textcolor{orange}{\dfrac{a}{b}}}\right)^{\textcolor{green}{m}} \)
Potenzen potenzieren
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert, und die Basis beibehält.
\( ({\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}})^{\textcolor{green}{n}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m \cdot n}}\)
Das erwartet dich
Unser Inhaltsverzeichnis
Was sind Potenzen?
Zunächst betrachten wir, was Potenzen sind und wie sie gebildet werden. Nehmen wir einmal die folgende Rechnung:\(\textcolor{orange}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\)
Und genau dafür haben wir die Potenzen. Wir zählen einmal genau nach, wie oft die \(3\) multipliziert wird und schauen, wie wir das in einer Potenz schreiben.
\(\underbrace{\textcolor{orange}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}}_{\textcolor{green}{7}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{7}}\)
Die Anzahl, wie oft diese Zahl multipliziert wird, bildet den Exponenten der Potenz.
Merke
\(\underbrace{{\textcolor{orange}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \ ...}}}_{{\textcolor{green}{m}}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}\)
Eine Potenz setzt sich zusammen aus Basis und Exponent.
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Potenzen mit gleicher Basis
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert, und die Basis beibehält.Beispiele
\( {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{2}} \cdot {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{6}} = {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{2+6}} = {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{8}} \)
\( {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-1}} \cdot {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{4}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-1+4}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{3}} \)
\( {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{5}} \cdot {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{-3}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{5+(-3)}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{2}} \)
Beispiele
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{7}}}{{\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{3}}} = {\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{7-3}} = {\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{4}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{5}}}{{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{2}}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{5-2}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{3}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{2}}}{{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{-4}}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{2-(-4)}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{6}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{y}}^{\textcolor{green}{-4}}}{{\textcolor{orange}{y}}^{\textcolor{green}{2}}} = {\textcolor{orange}{y}}^{\textcolor{green}{-4-2}} = {\textcolor{orange}{y}}^{\textcolor{green}{-6}} \)
Merke
\( {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{n}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m+n}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}}{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{n}}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m-n}} \)
Potenzen mit gleichem Exponenten
Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert, und den Exponenten beibehält.Beispiele
\( {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{3}} \cdot {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{3}} = {\textcolor{orange}{(2 \cdot 4)}}^{\textcolor{green}{3}} = {\textcolor{orange}{8}}^{\textcolor{green}{3}} \)
\( {\textcolor{orange}{(-3)}}^{\textcolor{green}{2}} \cdot {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{2}} = {\textcolor{orange}{((-3) \cdot 2 )}}^{\textcolor{green}{2}} = {\textcolor{orange}{(-6)}}^{\textcolor{green}{2}} \)
\( {\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{x}} \cdot {\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{x}} = {\textcolor{orange}{(4 \cdot 5)}}^{\textcolor{green}{x}} = {\textcolor{orange}{20}}^{\textcolor{green}{x}} \)
Beispiele
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{7}}}{{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{7}}} = {\textcolor{orange}{\left(\dfrac{4}{2}\right)}}^{\textcolor{green}{7}} = {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{7}} \)
\( {\textcolor{orange}{10}}^{\textcolor{green}{y}} : {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{orange}{\left(10 : 2 \right)}}^{\textcolor{green}{y}} = {\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{green}{y}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{12}}^{\textcolor{green}{2}}}{{\textcolor{orange}{4}}^{\textcolor{green}{2}}} = {\textcolor{orange}{\left(\dfrac{12}{4}\right)}}^{\textcolor{green}{2}} = {\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{green}{2}} \)
Merke
\( {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}} \cdot {\textcolor{orange}{b}}^{\textcolor{green}{m}} = ({\textcolor{orange}{a \cdot b}})^{\textcolor{green}{m}} \)
\( \dfrac{{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}}}{{\textcolor{orange}{b}}^{\textcolor{green}{m}}} = \left({\textcolor{orange}{\dfrac{a}{b}}}\right)^{\textcolor{green}{m}} \)
Zeit für Nachhilfe die funktioniert
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Potenzen potenzieren
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert, und die Basis beibehält.Beispiele
\(({\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{3}})^{\textcolor{green}{2}} = {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{3 \cdot 2}} = {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{6}}\)
\(({\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-2}})^{\textcolor{green}{4}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{(-2) \cdot 4}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-8}}\)
\(({\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{-1}})^{\textcolor{green}{-3}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{(-1) \cdot (-3)}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{3}}\)
Merke
\( ({\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m}})^{\textcolor{green}{n}} = {\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{green}{m \cdot n}}\)
Besonderheiten
Es gibt ein Paar Tricks und Kniffe, die du im Umgang mit Potenzen kennen solltest und die dir die Rechnungen erleichtern. Was passiert, wenn eine Potenz Null im Exponenten stehen hat siehst du, wenn du einmal verschiedene solcher Potenzen in den Taschenrechner eingibst.Null im Exponenten
\(127^0=1\)
\(0,16534^0=1\)
\((\dfrac{7}{25})^0=1\)
\((-6)^0=1\)
Kein Exponent, oder?
\(14=14^1=14\)
\(0,234=0,234^1=0,234\)
\(\dfrac{1}{6}=(\dfrac{1}{6})^1=\dfrac{1}{6}\)
\(-6=(-6)^1=-6\)
Wurzeln und Potenzen
\( \sqrt{\textcolor{orange}{4}} = \textcolor{orange}{4}^\frac{1}{2}\)
\( \sqrt[\textcolor{orangered}{3}]{\textcolor{orange}{2}} = \textcolor{orange}{2}^\frac{1}{\textcolor{orangered}{3}}\)
\( \sqrt[{\textcolor{orangered}{4}}]{{\textcolor{orange}{5}}^{\textcolor{blue}{3}}} = {\textcolor{orange}{5}}^\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{orangered}{4}}\)
Das ganze Funktioniert ebenso in die andere Richtung, wenn du eine Potenz mit Bruch im Exponenten in eine Wurzel umwandeln möchtest.
Merke
\( \sqrt[{\textcolor{orangered}{a}}]{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{blue}{b}}} = {\textcolor{orange}{x}}^{\frac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{orangered}{a}}}\)
Negativer Exponent
\( {\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{-3}} = \dfrac{1}{{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{green}{3}}}\)
\( {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-2}} = \dfrac{1}{{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{2}}}\)
\( 4 \cdot {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-5}} = \dfrac{4}{{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{5}}}\)
Merke
\( {\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{-a}} = \dfrac{1}{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{green}{a}}\)
Klammern - so wichtig!
\(-4^2 = -4 \cdot 4 = -16\)
\((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\)
\(-2^5 = -2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2= -32\)
\((-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32\)
\(-5^4 = -5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5= -625\)
\((-5)^4 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 625\)
Aufgaben
Potenzen mit gleicher Basis
\( 2^3 \cdot 2^5 \) | \( x^6 \cdot x^{-4} \) |
\( \dfrac{3^6}{3^4} \) | \( y^{-2} : y^3 \) |
Potenzen mit gleichem Exponenten
\( 4^3 \cdot 6^3 \) | \( 2^8 \cdot (-3)^8 \) |
\( \dfrac{12^x}{3^x} \) | \( 8^5 : 4^5 \) |
Potenzen potenzieren
\( (4^3)^2 \) | \( (x^{-2})^4 \) |
\( (6^5)^{-1} \) | \( (y^7)^3 \) |
Aufgaben
Potenzen mit gleicher Basis
\( 2^8 \) | \( x^2 \) |
\( 3^2 \) | \( y^{-5} \) |
Potenzen mit gleichem Exponenten
\( 24^3 \) | \( (-6)^8 \) |
\( 4^x \) | \( 2^5 \) |
Potenzen potenzieren
\( 4^6 \) | \( x^{-8}\) |
\( 6^{-5} \) | \( y^{21} \) |
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