Du willst wissen, wie man den Flächeninhalt und den Umfang eines Kreises bestimmt? Dann bist du hier genau richtig!
Wir führen dich an einfachen Beispielen durch die Welt der Kreise, und geben dir am Ende Übungsaufgaben, um das Gelernte zu festigen.
Der Radius eines Kreises wird vom Mittelpunkt bis zum Rand des Kreises gemessen.
Sein Durchmesser wird von einem Rand zum anderen gemessen und verläuft durch den Mittelpunkt.
Daraus ergibt sich, dass der Durchmesser das Doppelte des Radius ist...
→ \( \hspace{0.5cm} \textcolor{green}{d} = 2 \cdot \textcolor{orange}{r} \)
... und der Radius die Hälfte des Durchmessers.
→ \( \hspace{0.5cm} \textcolor{orange}{r} = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{green}{d} \)
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Theorie: Der Umfang und die Kreiszahl \( \pi \)
Der Umfang eines Kreises und die Kreiszahl Pi (\( \pi \)) sind untrennbar verbunden.
Pi beschreibt das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser. Mathematisch ausgedrückt bedeutet das:
Wir kennen außerdem den Zusammenhang zwischen r und d. Mit diesem Wissen können wir die Formel zur Berechnung des Umfangs noch auf folgende Weise schreiben:
Pi (\( \pi \)) ist eine mathematische Konstante. Das bedeutet, es ist eine festgelegte Zahl, die immer gleich ist.
Warum ist Pi dann so ein merkwürdiger Buchstabe? Warum schreiben wir die Zahl nicht einfach hin?
Weil \( \pi \) eine irrationale Zahl ist, du kannst sie nicht einfach so aufschreiben.
Was bedeutet irrational?
Es bedeutet, dass \( \pi \) unendlich viele Nachkommastellen hat. Also viel zu viele um sie alle aufzuschreiben. Aus diesem Grund hat jeder Taschenrechner eine Taste \( \pi \), auf der die Zahl mit möglichst vielen Nachkommastellen einprogrammiert ist.
Und was, wenn ich keinen Taschenrechner habe?
Du solltest dir merken, dass \( \pi \) ungefähr dem Wert 3,14 entspricht. Hast du keinen Taschenrechner, arbeitest du in deinen Rechnungen mit diesem Wert.
Den Flächeninhalt berechnen
Merke
\(A= \pi \cdot \textcolor{orange}{r}^2 \)
Auch zur Berechnung des Flächeninhalts lassen wir die Einheiten zunächst weg, und fügen sie dann im Endergebnis wieder hinzu.
Beispiel
\( \textcolor{green}{d= 4cm} \)
In diesem Beispiel haben wir den Durchmesser d gegeben. In der Formel für den Flächeninhalt nutzen wir allerdings den Radius r. Also rechnen wir zunächst d in r um.
Der Kreis hat einen Flächeninhalt von \(12,56 \ cm^2 \)
Ist euch aufgefallen, dass der Flächeninhslt die Einheit \(cm^2\) hat? Wir wiederholen die Berechnung, und berücksichtigen diesmal die Einheiten, um zu verstehen, wie das \(cm^2\) entsteht.
Einheit von Flächen
\(A= \pi \cdot r^2 \)
\(A= \pi \cdot (2 \textcolor{orangered}{cm})^2 \)
Wie du siehst rechnen wir hier \( \textcolor{orangered}{(2cm)^2} \). Die Klammer sagt uns, dass wir sowohl die \(2\), als auch die Einheit \(cm\) ins Quadrat nehmen. Ausführlich geschrieben sieht das dann so aus:
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In den nächsten beiden Beispielen zeigen wir dir, wie man den Radius bzw. den Durchmesser berechnet, wenn Umfang oder Flächeninhalt gegeben sind.
Beispiel 1
\( \textcolor{blue}{U= 15cm} \)
In unserem ersten Beispiel ist der Umfang gegeben. Um loslegen zu können, schreiben wir also zunächst die Formel für den Umfang auf, und setzen ein, was wir gegeben haben.
Im zweiten Beispiel ist der Flächeninhalt gegeben, daher müssen wir nun die Formel für den Flächeninhalt nutzen. Erneut setzen wir ein, was gegeben ist um dann die Gleichung nach r aufzulösen.
