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Rund um den Kreis

Kreis - Flächeninhalt & Umfang

Lisa von onmathe • Mai 28, 2024
Kreis - Flächeninhalt & Umfang
Du willst wissen, wie man den Flächeninhalt und den Umfang eines Kreises bestimmt? Dann bist du hier genau richtig!
Wir führen dich an einfachen Beispielen durch die Welt der Kreise, und geben dir am Ende Übungsaufgaben, um das Gelernte zu festigen.
Merke
Flächeninhalt: \(A= \pi \cdot \textcolor{orange}{r}^2 \)
r →   Radius des Kreises
Umfang: \(\textcolor{blue}{U}= 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{orange}{r} \hspace{0.15cm} \) oder   \( \textcolor{blue}{U}= \pi \cdot \textcolor{green}{d} \)
d →   Durchmesser des Kreises
Radius und Durchmesser
Der Radius eines Kreises wird vom Mittelpunkt bis zum Rand des Kreises gemessen.
Sein Durchmesser wird von einem Rand zum anderen gemessen und verläuft durch den Mittelpunkt.
Daraus ergibt sich, dass der Durchmesser das Doppelte des Radius ist...

→ \( \hspace{0.5cm} \textcolor{green}{d} = 2 \cdot \textcolor{orange}{r} \)

... und der Radius die Hälfte des Durchmessers.

→ \( \hspace{0.5cm} \textcolor{orange}{r} = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{green}{d} \)

Das erwartet dich

Unser Inhaltsverzeichnis

Den Umfang berechnen

Der Umfang eines Kreises ist die Strecke, die man zurücklegt, wenn man entlang der blauen Linie einmal um den ganzen Kreis herumläuft.
Beispiel
\( \textcolor{orange}{r= 3cm} \)
Um unsere Rechnung übersichtlich zu halten, rechnen wir ohne Einheiten, und fügen diese erst im Endergebnis hinzu.
\( \textcolor{blue}{U}= 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{orange}{r}\)
\( \textcolor{blue}{U}= 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{orange}{3}\)
\( \textcolor{blue}{U}= 2 \cdot \textcolor{orange}{3} \cdot \pi \)
\( \textcolor{blue}{U}= 6\pi \)
\( \textcolor{blue}{U}= 18,85 \ cm \)
Der Kreis hat einen Umfang von \( 18,85 \ cm\)
Merke
\( \textcolor{blue}{U}= 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{orange}{r} \)
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Theorie: Der Umfang und die Kreiszahl \( \pi \)

Der Umfang eines Kreises und die Kreiszahl Pi (\( \pi \)) sind untrennbar verbunden.
Pi beschreibt das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser. Mathematisch ausgedrückt bedeutet das:
\( \pi = \dfrac{\textcolor{blue}{U}}{\textcolor{green}{d}} \)
Aus diesem Zusammenhang können wir die Formel für den Umfang des Kreises herleiten.
\( \pi = \dfrac{\textcolor{blue}{U}}{\textcolor{green}{d}} \hspace{2cm} | \cdot \textcolor{green}{d} \)
\( \pi \cdot \textcolor{green}{d} = \textcolor{blue}{U} \hspace{0.15cm} \) , also   \( \textcolor{blue}{U} = \pi \cdot \textcolor{green}{d} \)
Wir kennen außerdem den Zusammenhang zwischen r und d. Mit diesem Wissen können wir die Formel zur Berechnung des Umfangs noch auf folgende Weise schreiben:
\(\textcolor{green}{d} = 2 \cdot \textcolor{orange}{r} \hspace{0.15cm} \), also:
\( \textcolor{blue}{U}= 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{orange}{r}\)
\( \pi \) im Fokus
Pi (\( \pi \)) ist eine mathematische Konstante. Das bedeutet, es ist eine festgelegte Zahl, die immer gleich ist.

Warum ist Pi dann so ein merkwürdiger Buchstabe? Warum schreiben wir die Zahl nicht einfach hin?
Weil \( \pi \) eine irrationale Zahl ist, du kannst sie nicht einfach so aufschreiben.

Was bedeutet irrational?
Es bedeutet, dass \( \pi \) unendlich viele Nachkommastellen hat. Also viel zu viele um sie alle aufzuschreiben. Aus diesem Grund hat jeder Taschenrechner eine Taste \( \pi \), auf der die Zahl mit möglichst vielen Nachkommastellen einprogrammiert ist.

Und was, wenn ich keinen Taschenrechner habe?
Du solltest dir merken, dass \( \pi \) ungefähr dem Wert 3,14 entspricht. Hast du keinen Taschenrechner, arbeitest du in deinen Rechnungen mit diesem Wert.

Den Flächeninhalt berechnen

Merke
\(A= \pi \cdot \textcolor{orange}{r}^2 \)
Auch zur Berechnung des Flächeninhalts lassen wir die Einheiten zunächst weg, und fügen sie dann im Endergebnis wieder hinzu.
Beispiel
\( \textcolor{green}{d= 4cm} \)
In diesem Beispiel haben wir den Durchmesser d gegeben. In der Formel für den Flächeninhalt nutzen wir allerdings den Radius r. Also rechnen wir zunächst d in r um.
\( \textcolor{orange}{r} = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{green}{d} \)
\( \textcolor{orange}{r} = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{green}{4} \)
\( \textcolor{orange}{r} = 2 \ cm \)
Jetzt ist alles bereit, um den Flächeninhalt zu berechnen:
\( \textcolor{orangered}{A}= \pi \cdot \textcolor{orange}{r}^2 \)
\( \textcolor{orangered}{A}= \pi \cdot \textcolor{orange}{2}^2 \)
\( \textcolor{orangered}{A}= \pi \cdot 4 \)
\( \textcolor{orangered}{A}= 12,56 \ cm^2 \)
Der Kreis hat einen Flächeninhalt von \(12,56 \ cm^2 \)
Ist euch aufgefallen, dass der Flächeninhslt die Einheit \(cm^2\) hat? Wir wiederholen die Berechnung, und berücksichtigen diesmal die Einheiten, um zu verstehen, wie das \(cm^2\) entsteht.

Einheit von Flächen
\(A= \pi \cdot r^2 \)
\(A= \pi \cdot (2 \textcolor{orangered}{cm})^2 \)
Wie du siehst rechnen wir hier \( \textcolor{orangered}{(2cm)^2} \). Die Klammer sagt uns, dass wir sowohl die \(2\), als auch die Einheit \(cm\) ins Quadrat nehmen. Ausführlich geschrieben sieht das dann so aus:
\(A= \pi \cdot 2^2 \ \textcolor{orangered}{cm^2} \)
\(A= \pi \cdot 4 \ \textcolor{orangered}{cm^2} \)
\(A= 12,56 \ \textcolor{orangered}{cm^2} \)
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In den nächsten beiden Beispielen zeigen wir dir, wie man den Radius bzw. den Durchmesser berechnet, wenn Umfang oder Flächeninhalt gegeben sind.

Beispiel 1
\( \textcolor{blue}{U= 15cm} \)
In unserem ersten Beispiel ist der Umfang gegeben. Um loslegen zu können, schreiben wir also zunächst die Formel für den Umfang auf, und setzen ein, was wir gegeben haben.
\( \textcolor{blue}{U}= 2 \cdot \pi \cdot \textcolor{orange}{r}\)
\( \textcolor{blue}{15}= 2 \pi \cdot \textcolor{orange}{r}\)
Nach dem Einsetzen lösen wir die Gleichung nach r auf.
\( \textcolor{blue}{15}= 2 \pi \cdot \textcolor{orange}{r} \hspace{0.5cm} |:2\pi \)
\( \dfrac{\textcolor{blue}{15}}{2\pi}= \textcolor{orange}{r} \)
\( 2,39 = \textcolor{orange}{r} \)
\( \textcolor{orange}{r} = 2,39 cm \)
Der Kreis hat einen Radius r von 2,39 cm.

Beispiel 2
\( \textcolor{orangered}{A= 45 cm^2} \)
Im zweiten Beispiel ist der Flächeninhalt gegeben, daher müssen wir nun die Formel für den Flächeninhalt nutzen. Erneut setzen wir ein, was gegeben ist um dann die Gleichung nach r aufzulösen.
\(\textcolor{orangered}{A} = \pi \cdot \textcolor{orange}{r}^2 \)
\(\textcolor{orangered}{45}= \pi \cdot \textcolor{orange}{r}^2 \hspace{0.5cm} |:\pi \)
\( \dfrac{\textcolor{orangered}{45}}{\pi }= \textcolor{orange}{r}^2 \hspace{0.5cm} |\sqrt{} \)
\( \sqrt{\dfrac{\textcolor{orangered}{45}}{\pi}} = \textcolor{orange}{r} \hspace{0.5cm} \)
\( 3,78 = \textcolor{orange}{r} \)
\( \textcolor{orange}{r} = 3,78 cm \)
Der Kreis hat einen Radius von 3,78 cm.

Aufgaben

r \(d\) \(A\) \(U\)
\(4\ cm\)
\(14 \ dm \)
\(90\ m^2\)
\(24\ cm\)

Lösungen

r \(d\) \(A\) \(U\)
\(4\ cm\) \(8\ cm\) \(50,27\ cm^2\) \(25,13\ cm\)
\(7\ dm\) \(14\ dm\) \(153,54 \ dm^2\) \(43,98 \ dm\)
\(5,35\ m\) \(10,70 \ m\) \(90 \ m^2\) \(43,98 \ m\)
\(3,82\ cm\) \(7,64\ cm\) \(45,84\ cm^2\) \(24\ cm\)

Weiterführende Informationen zum Kreis: Fläche und Umfang

Der Kreis – eine der faszinierendsten geometrischen Formen
Der Kreis ist eine grundlegende geometrische Figur, die uns überall begegnet – von Rädern und Uhren bis hin zu Planetenbahnen. Seine einzigartigen Eigenschaften machen ihn zu einem wichtigen Objekt in der Geometrie und Mathematik. Zwei zentrale Konzepte des Kreises sind die Berechnung seiner Fläche und seines Umfangs, die essenziell für zahlreiche Anwendungen sind.

Was ist der Umfang eines Kreises?
Der Umfang eines Kreises gibt die Länge der geschlossenen Kurve an, die den Kreis bildet. Um den Umfang zu berechnen, wird der Durchmesser mit der Kreiszahl Pi (π) multipliziert. Das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser ist konstant und beträgt immer π, was den Kreis zu einer besonders symmetrischen Form macht.

Was ist die Fläche eines Kreises?
Die Fläche eines Kreises beschreibt den gesamten zweidimensionalen Raum, den der Kreis einnimmt. Sie wird berechnet, indem der Radius quadriert wird und das Ergebnis mit π multipliziert wird. Diese Formel zeigt die Beziehung zwischen dem Radius und der Fläche und macht deutlich, wie stark die Fläche wächst, wenn der Radius vergrößert wird.

Praktische Anwendungen von Fläche und Umfang

  • Fläche: Wird genutzt, um die Größe von Grundstücken, Rädern oder Behältern zu bestimmen.
  • Umfang: Wichtig für die Berechnung von Strecken, z. B. beim Bau von Straßen oder der Planung von Laufbahnen.

Häufige Fehler vermeiden

  • Falscher Einsatz von Durchmesser und Radius: Verwechsle nicht den Radius mit dem Durchmesser; der Durchmesser ist doppelt so groß.
  • Unterschätzung der Genauigkeit von Pi: Verwende π möglichst genau oder arbeite mit gerundeten Werten nur bei praktischen Berechnungen.

Tipps für korrekte Berechnungen

  • Überprüfe die Einheiten und rechne bei Bedarf auf eine gemeinsame Einheit um.
  • Notiere die Werte von Radius oder Durchmesser sauber, um Fehler zu vermeiden.
  • Übe mit einfachen Beispielen, um ein gutes Gefühl für die Formeln zu entwickeln.

Die Bedeutung von Fläche und Umfang in der Praxis
Ob beim Bau von Brunnen, in der Astronomie oder bei der Berechnung von Materialbedarf – die Berechnung von Fläche und Umfang eines Kreises hat zahlreiche Anwendungen. Sie ermöglicht es uns, Kreisflächen effizient zu planen und Ressourcen präzise einzusetzen.

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